Equazioni goniometriche di secondo grado: esercizi svolti

Equazioni goniometriche di secondo grado

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Sommario

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Raccolta di esercizi sulle equazioni goniometriche di secondo grado.

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti.

Revisori: Daniele Volpe, Luigi De Masi.

Esercizi

Esercizio 1 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Risolvere la seguente equazione nel campo dei numeri reali:

$\sin^2 x - \sqrt{3}\,\sin x \cos x = 0.$

Svolgimento.

Raccogliamo $\sin x$ come fattore comune:

$\sin x(\sin x - \sqrt{3} \cos x) = 0.$

Poniamo ciascun fattore uguale a zero:

$\quad$

$\sin x = 0$ , da cui
$x = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}.$

$\sin x - \sqrt{3} \cos x = 0$ , da cui otteniamo
$\sin x = \sqrt{3} \cos x.$

Se $\cos x \neq 0$ , possiamo dividere entrambi i membri per $\cos x$ e ottenere:

$\tan x = \sqrt{3}.$

Le soluzioni di questa equazione sono:

$x = \frac{\pi}{3} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}.$

Verifichiamo ora se $\cos x = 0$ può essere una soluzione:

$\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}.$

Per questi valori si ha $\sin x = \pm 1$ , quindi il termine $\sin^2 x$ vale 1, mentre $\cos x = 0$ , quindi l’equazione diventa:

$\sin^2 x - \sqrt{3} \sin x \cos x = 1 - 0 = 1 \neq 0.$

Quindi $\cos x = 0$ non è soluzione.

Pertanto, l’insieme delle soluzioni dell’equazione iniziale è:

$\boxcolorato{superiori}{ \left \{ x \in \mathbb{R} \;\Big|\; x = k\pi \;\text{oppure}\; x = \frac{\pi}{3} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}\right\}. }$

Esercizio 2 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere la seguente equazione nel campo dei numeri reali:

$\sqrt{3}\cos^2 x - \sin x \cos x = \sqrt{3}.$

Svolgimento.

Dall’equazione fondamentale della goniometria si ha

$-\sqrt3+ \sqrt3\,\cos^{2}x-\sin x\cos x=0 \iff -\sqrt{3} \sin^2 x- \sin x \cos x=0 \iff \sin x( \sqrt{3} \sin x + \cos x)=0.$

Ciò è verificato se e solo se

$\sin x = 0 \,\,\vee \,\, \sqrt{3} \sin x + \cos x=0.$

La prima condizione è soddisfatta da $x=k\pi$ con $k \in \mathbb{Z}$ . Per la seconda, osserviamo che sicuramente non è soddisfatta se $\cos x=0$ in quanto in tal caso $\sin x =\pm 1$ , dunque è lecito dividere per $\cos x$ e ottenere