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Disequazioni goniometriche non elementari: esercizi svolti

Disequazioni goniometriche

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Sommario

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Raccolta di esercizi sulle disequazioni goniometriche non elementari.

 
 

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti.

Revisori: Daniele Volpe, Luigi De Masi.


 
 

Esercizi

\[\quad\]

Esercizio 1 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Risolvere la seguente disequazione nel campo dei numeri reali:

\[2 \sin^2 x - 1 \le 0.\]

Svolgimento.

Svolgendo i calcoli abbiamo:

\[ \begin{aligned} 2\sin^{2}x-1 &\le 0 \\[4pt] -\,\left(1-2\sin^{2}x\right) &\le 0 \\[4pt] -\cos 2x &\le 0 \\[4pt] \cos 2x &\ge 0 . \end{aligned} \]

Poiché \cos\theta\ge0 quando -\frac{\pi}{2}+2k\pi\le\theta\le\frac{\pi}{2}+2k\pi, ponendo \theta=2x otteniamo

\[ -\frac{\pi}{2}+2k\pi\;\le\;2x\;\le\;\frac{\pi}{2}+2k\pi, \qquad k\in\mathbb{Z}, \]

da cui

\[ -\frac{\pi}{4}+k\pi\;\le\;x\;\le\;\frac{\pi}{4}+k\pi, \qquad k\in\mathbb{Z}. \]

Pertanto la soluzione della disequazione si può esprimere in forma sintetica come

\[\boxcolorato{superiori}{ \left\{\,x\in\mathbb{R}\mid -\frac{\pi}{4}+k\pi \le x \le \frac{\pi}{4}+k\pi,\; k\in\mathbb{Z}\right\}.} \]


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Risolvere la seguente disequazione nel campo dei numeri reali:

\[2 \cos^2 x + \cos x \ge 0.\]

Svolgimento.

Svolgendo i calcoli abbiamo:

\[ \begin{aligned} 2\cos^{2}x + \cos x &\ge 0 \\[4pt] \cos x\,(2\cos x + 1) &\ge 0. \end{aligned} \]

Pongo t = \cos x; la disequazione algebrica diventa

\[ t\,(2t + 1) \ge 0 \iff t \leq -\frac{1}{2} \,\,\vee \,\, t \geq 0. \]

Ricordando che t= \cos x \in [-1,1], la soluzione diventa

\[ t \in \left[-1,\,-\frac12\right] \,\cup\, [0,1]. \]

Tornando alla variabile x ottengo

\[ \begin{array}{ll} \cos x \ge 0 &\iff -\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi \;\le\; x \;\le\; \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi,\\[10pt] \cos x \le -\dfrac12 &\iff \dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi \;\le\; x \;\le\; \dfrac{4\pi}{3} + 2k\pi, \end{array} \qquad k \in \mathbb{Z}. \]

Perciò la soluzione della disequazione è

\[\boxcolorato{superiori}{\; \left\{\,x \in \mathbb{R}\mid -\frac{\pi}{2} + 2k\pi \le x \le \frac{\pi}{2} + 2k\pi \;\text{oppure}\; \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \le x \le \frac{4\pi}{3} + 2k\pi,\; k \in \mathbb{Z}\right\} .} \]


 
 

Esercizio 3 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Risolvere la seguente disequazione nel campo dei numeri reali:

\[\tan^2 x - 1 \ge 0.\]

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