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Disequazioni goniometriche fratte: esercizi svolti

Disequazioni goniometriche

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Sommario

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Raccolta di esercizi sulle disequazioni goniometriche fratte.

 
 

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti.

Revisori: Daniele Volpe, Luigi De Masi.


 
 

Esercizi

\[\quad\]

Esercizio 1 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Risolvere la seguente disequazione nel campo dei numeri reali:

\[\frac{2 \cos x - 3}{\sin x} \ge 0.\]

Svolgimento.

Poiché 2\cos x \leq 2, il numeratore è sempre strettamente negativo, e dunque la disuguaglianza è soddisfatta se e solo se il denominatore è strettamente negativo:

\[ \sin x<0. \]

La soluzione è dunque

\[\boxcolorato{superiori}{ -\pi +2k\pi < x < 2k\pi, \qquad k \in \mathbb{Z}. } \]


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Risolvere la seguente disequazione nel campo dei numeri reali:

\[\frac{2 \sin x + 1}{1 - \sin x} \ge 0.\]

Svolgimento.

Osserviamo anzitutto che la frazione è definita per \sin x\neq1, ossia per x\neq\frac{\pi}{2}+2k\pi con k\in\mathbb Z. Poiché 1-\sin x>0 su tutto il dominio ammesso, il segno del quoziente coincide con quello del numeratore e quindi basta richiedere

\[ 2\sin x+1\ge0 \iff \sin x \geq -\frac{1}{2} \iff -\frac{\pi}{6}+2k\pi \leq x \leq \frac{7\pi}{6}+2k\pi, \]

con k \in \mathbb{Z}. Notando che tali intervalli non contengono i punti che annullano il denominatore, si ottiene la soluzione

\[ -\frac{\pi}{6}+2k\pi \leq x \leq \frac{7\pi}{6}+2k\pi, \qquad k \in \mathbb{Z}. \]


 
 

Esercizio 3 (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Risolvere la seguente disequazione nel campo dei numeri reali:

\[\frac{\sin x (2 \cos^2 x + \cos x)}{\tan^2 x - 1} \le 0.\]

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