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Disequazioni goniometriche elementari: esercizi svolti

Disequazioni goniometriche

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Sommario

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Raccolta di esercizi sulle equazioni goniometriche di tipo elementare.

 
 

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti.

Revisori: Daniele Volpe, Luigi De Masi.


 
 

Esercizi

Esercizio 1 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Risolvere la seguente disequazione nel campo dei numeri reali:

\[\sin x - 1 < 0.\]

Svolgimento.

Poiché l’immagine della funzione seno è l’intervallo

\[ -1 \,\le\, \sin x \,\le\, 1 , \]

il valore massimo 1 viene assunto soltanto nei punti

\[ x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi , \qquad k \in \mathbb{Z}. \]

Essendo la disuguaglianza stretta, tali punti devono essere esclusi; di conseguenza

\[ \boxcolorato{superiori}{\; x \in \mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi}{2}+2k\pi \mid k\in\mathbb{Z}\right\} \;} \]

è l’insieme completo delle soluzioni reali.


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Risolvere la seguente disequazione nel campo dei numeri reali:

\[3\tan x + 4 > \tan x + 4.\]

Svolgimento.

Poiché \tan x è definita solo per \cos x\neq 0, ossia x\neq \frac{\pi}{2}+k\pi con k\in\mathbb{Z}, ed è positiva quando seno e coseno hanno lo stesso segno (I e III quadrante), si ha

\[ k\pi < x < k\pi+\frac{\pi}{2}, \qquad k\in\mathbb{Z}. \]

Pertanto l’insieme delle soluzioni è

\[\boxcolorato{superiori}{\,\left\{\,x\in\mathbb{R}\colon k\pi < x < k\pi+\frac{\pi}{2},\; k\in\mathbb{Z}\,\right\}.\,}. \]


 
 

Esercizio 3 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Risolvere la seguente disequazione nel campo dei numeri reali:

\[2\cos x + \sqrt{3} < 0.\]

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