Archi associati: esercizi svolti

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Sommario

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Raccolta di esercizi sugli archi associati per funzioni goniometriche. Rimandiamo all’articolo Formule note di trigonometria per una lista esaustiva di tutte le formule utilizzate nelle soluzioni.

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti.

Revisori: Daniele Volpe, Luigi De Masi.

Esercizi

Esercizio 1 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Risolvere la seguente espressione goniometrica applicando le formule degli archi associati:

$\sin^{2}(-\alpha) + \cos^{2}\alpha + \tan\alpha \,\cdot\, \cot(-\alpha).$

Svolgimento.

Svolgendo i calcoli abbiamo

$\begin{aligned} \sin^{2}(-\alpha)+\cos^{2}\alpha+\tan\alpha\cot(-\alpha) &= \sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha-\tan\alpha\cot\alpha \\[6pt] &= \sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha-1 \\[6pt] &= 1-1 \\[6pt] &= 0, \end{aligned}$

dove abbiamo sfruttato le seguenti relazioni:

$\quad$

$\sin(-\alpha)=-\sin \alpha \;\Longrightarrow\; \sin^{2}(-\alpha)=\sin^{2}\alpha$ ;

$\cot(-\alpha)=-\cot \alpha$ ;

$\tan\alpha\cot\alpha = 1$ \quad (poiché $\cot\alpha=\dfrac{1}{\tan\alpha}$ );

identità pitagorica $\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha = 1$ .

Esercizio 2 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Risolvere la seguente espressione goniometrica applicando le formule degli archi associati:

$\frac{\cos(-\alpha)-\tan(-\alpha)} {\cos^{2}\alpha+\sin^{2}(-\alpha)} \;+\; \sin^{2}(-\alpha) -\cos(-\alpha).$

Svolgimento.

$\begin{aligned} \frac{\cos(-\alpha)-\tan(-\alpha)}{\cos^{2}\alpha+\sin^{2}(-\alpha)} +\sin^{2}(-\alpha)-\cos(-\alpha) &= \frac{\cos\alpha + \tan\alpha}{\cos^{2}\alpha+\sin^{2}\alpha} +\sin^{2}\alpha-\cos\alpha \\[6pt] &= (\cancel{\cos\alpha}+\tan\alpha)+\sin^{2}\alpha-\cancel{\cos\alpha} \\[6pt] &= \tan\alpha+\sin^{2}\alpha, \end{aligned}$