Punti allineati – Esercizio 2

Piano cartesiano e retta

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Esercizio.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Dire se i seguenti punti sono allineati

    \[A(-1,4) \qquad B(0,1) \qquad C(2,-5)\]

 

Soluzione. 
Per controllare se due punti sono allineati è necessario scrivere l’equazione della retta passante per due dei tre punti e vedere se il terzo punto appartiene alla retta trovata.
Possiamo scrivere l’equazione della retta passante per A e per B: partiamo trovando il coefficiente angolare di tale retta

    \[m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \dfrac{1-4}{0+1} = -3\]

e scrivendo l’equazione del fascio di rette passante per A o B, noi scegliamo A

    \[y - y_A = m (x-x_A) \quad \Rightarrow \quad y - 4 = -3(x +1) \quad \Rightarrow \quad y = -3x -3 + 4 \quad \Rightarrow \quad y = -3x + 1\]

quindi la retta passante per A e B è

    \[y = -3x + 1\]

Adesso controlliamo se il punto C appartiene o no a tale retta. Si controlla l’appartenenza sostituendo le coordinate di C nell’equazione della retta e se l’uguaglianza è verificata allora il punto appartiene, altrimenti no:

    \[\overbrace{-5}^{y_C} = -3 \cdot \overbrace{2}^{x_C} +1 \quad \Rightarrow \quad - 5 = -5\]

che è verificata, quindi i tre punti sono allineati.
Graficamente si ottiene quanto segue

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Fonte: Qui Si Risolve