Punti allineati – Esercizio 1

Piano cartesiano e retta

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Esercizio.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Dire se i seguenti punti sono allineati

    \[A(2,1) \qquad B(-1,-3) \qquad C(0,0)\]

 

Soluzione. 
Per controllare se tre punti sono allineati è necessario scrivere l’equazione della retta passante per due dei tre punti e vedere se il terzo punto appartiene alla retta trovata.
Possiamo scrivere l’equazione della retta passante per A e per B: partiamo trovando il coefficiente angolare di tale retta

    \[m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \dfrac{-3 - 1}{-1 - 2} = \dfrac{-4}{-3} = \dfrac{4}{3}\]

e scrivendo l’equazione del fascio di rette passante per A o B (noi scegliamo A)

    \[y - y_A = m (x-x_A) \quad \Rightarrow \quad y - 1 = \dfrac{4}{3} (x - 2) \quad \Rightarrow \quad y = \dfrac{4}{3}x + 1 - \dfrac{8}{3} \quad \Rightarrow \quad y = \dfrac{4}{3}x - \dfrac{5}{3}\]

quindi la retta passante per A e B è

    \[y = \dfrac{4}{3}x - \dfrac{5}{3}\]

Adesso controlliamo se il punto C appartiene o no a tale retta. Si controlla l’appartenenza sostituendo le coordinate di C nell’equazione della retta e se l’uguaglianza è verificata allora il punto appartiene, altrimenti no:

    \[\overbrace{0}^{y_C} = \dfrac{4}{3} \cdot \overbrace{0}^{x_C} - \dfrac{5}{3} \quad \Rightarrow \quad 0 = - \dfrac{5}{3}\]

che non è verificata, quindi i tre punti non sono allineati.
Graficamente si ottiene quanto segue

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Fonte: Qui Si Risolve