Perimetro e area – Esercizio 2

Piano cartesiano e retta

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Esercizio.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)

Determinare il perimetro e l’area del triangolo ABC di vertici A(-1,-1), \, B(2,-1) e C(-3,1).

 

Soluzione. 
Rappresentiamo il triangolo sul piano cartesiano

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Per determinare il perimetro abbiamo bisogno della misura dei lati AB, BC e AC, dunque con la formula della distanza tra due punti nel piano cartesiano

    \[d = \sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}\]

abbiamo

    \[\begin{aligned}  & AB = \sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2} = \sqrt{(-1-2)^2+(-1+1)^2} = \sqrt{9} = 3\\ & BC = \sqrt{(x_C-x_B)^2+(y_C-y_B)^2} = \sqrt{(-3-2)^2+(-1-1)^2} =\sqrt{29} \\ & AC = \sqrt{(x_A-x_C)^2+(y_A-y_C)^2} = \sqrt{(-1+3)^2+(-1-1)^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \end{aligned}\]

per cui il perimetro è

    \[P = AB + BC + AC = 3 + \sqrt{29} + 2\sqrt{2}\]

Per calcolare l’area, prendiamo AB come base e quindi l’altezza da trovare è CH come disegnato nel grafico seguente

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quindi è necessario calcolare la distanza tra il punto A e il prolungamento della base AB ma essendo un segmento verticale facilmente abbiamo CH = \vert y_c - y_a \vert = \vert 1+1 \vert = 2.
Dunque l’area del triangolo è

    \[A = \dfrac{AB \cdot CH}{2} = \dfrac{3 \cdot 2}{2} = 3\]

 


Fonte: La Matematica a colori 2 (edizione blu) – L. Sasso