Esercizio misto 1 – Rette

Piano cartesiano e retta

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Esercizio.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)


Scrivere l’equazione della retta r passante per i punti A(1,2) e B(4,-1). Calcola le distanze di questi punti dalla retta s di equazione 5x + 5y + 3 = 0.
Come sono tra loro le rette r e s?

 

Soluzione. 
Innanzitutto troviamo il coefficiente angolare della retta passante per i punti A e B

    \[m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \dfrac{-1-2}{4-1} = \dfrac{-3}{3} = -1\]

ed imponendo il passaggio per, ad esempio, il punto A abbiamo

    \[y-y_A = m(x-x_A) \quad \Rightarrow \quad y-2 = -1(x-1) \quad \Rightarrow \quad y = x + 3\]

Nota bene: imponendo il passaggio per B si ottiene la stessa retta (come ovvio).
Dunque l’equazione della retta passante per A e B è

    \[r: y = -x + 3\]

Ora calcoliamo la distanza di A da s. Osserviamo che la retta s è già in forma implicita, quindi

    \[d_{As} = \dfrac{\vert 5 \cdot 1 + 5 \cdot 2 - 3\vert}{\sqrt{5^2+5^2}} = \dfrac{12}{\sqrt{50}} = \dfrac{12}{5\sqrt{2}} = \dfrac{6\sqrt{2}}{5}\]

Adesso invece calcoliamo la distanza di B da s come segue

    \[d_{Bs} = \dfrac{\vert 5 \cdot 4 + 5 \cdot (-1) - 3\vert}{\sqrt{5^2+5^2}} = \dfrac{12}{\sqrt{50}} = \dfrac{12}{5\sqrt{2}} = \dfrac{6\sqrt{2}}{5}\]

quindi i punti A e B sono equidistanti dalla retta s.
Andando ad analizzare i coefficienti angolari di r ed s ci accorgiamo che

    \[m_r = -1\]

e

    \[m_s = -1\]

quindi le rette r ed s sono parallele: r \parallel s.

 


Fonte: Qui Si Risolve