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Esercizio misto 1 – Rette

Piano cartesiano e retta

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Esercizio (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Scrivere l’equazione della retta r passante per i punti A(1,2) e B(4,-1). Calcola le distanze di questi punti dalla retta s di equazione 5x + 5y + 3 = 0.
Come sono tra loro le rette r e s?

Svolgimento.

Innanzitutto troviamo il coefficiente angolare della retta passante per i punti A e B

\[m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \dfrac{-1-2}{4-1} = \dfrac{-3}{3} = -1.\]

Imponendo il passaggio per, ad esempio, il punto A abbiamo

\[y-y_A = m(x-x_A) \quad \Rightarrow \quad y-2 = -1(x-1) \quad \Rightarrow \quad y = -x + 3.\]

Nota bene: imponendo il passaggio per B si ottiene la stessa retta (come ovvio).

Dunque l’equazione della retta passante per A e B è

\[r: y = -x + 3.\]

Ora calcoliamo la distanza di A da s. Osserviamo che la retta s è già in forma implicita, quindi

\[d_{As} = \dfrac{\vert 5 \cdot 1 + 5 \cdot 2 + 3\vert}{\sqrt{5^2+5^2}} = \dfrac{18}{\sqrt{50}} = \dfrac{18}{5\sqrt{2}} = \dfrac{9\sqrt{2}}{5}.\]

Adesso calcoliamo la distanza di B da s:

\[d_{Bs} = \dfrac{\vert 5 \cdot 4 + 5 \cdot (-1) + 3\vert}{\sqrt{5^2+5^2}} = \dfrac{18}{\sqrt{50}} = \dfrac{18}{5\sqrt{2}} = \dfrac{9\sqrt{2}}{5}.\]

Quindi i punti A e B sono equidistanti dalla retta s.

Andando ad analizzare i coefficienti angolari di r ed s, osserviamo che

\[m_r = -1\]

e, riscrivendo s in forma esplicita,

\[5x + 5y + 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad y = -x - \dfrac{3}{5},\]

quindi

\[m_s = -1.\]

Le rette r ed s hanno lo stesso coefficiente angolare e intercette diverse, quindi sono parallele:

\[r \parallel s.\]

 


Fonte: Qui Si Risolve