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Distanza tra due punti – Esercizi

Piano cartesiano e retta

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Esercizi sulla distanza tra due punti

 
 

Sommario

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Questa dispensa raccoglie 15 esercizi di diversa difficoltà sulla distanza fra due punti nel piano, pensati per il biennio della scuola superiore. Gli esercizi riguardano: l’applicazione diretta della formula; l’interpretazione grafica; il confronto fra distanze; la verifica di proprietà di figure piane. Le soluzioni, presentate subito dopo i testi degli esercizi e con ogni passaggio adeguatamente commentato, permettono allo studente di autovalutare il proprio lavoro e al docente di utilizzare il materiale come verifica o per un approfondimento mirato.

 
 

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti.

Revisori: Matteo Talluri.


 
 

Richiami di teoria

\[\quad\]

La distanza tra due punti nel piano

Introduzione.

Si considerino due punti nel piano cartesiano, A=(x_{1},y_{1}) e B=(x_{2},y_{2}). Per determinare la lunghezza del segmento che li congiunge, si costruisce un triangolo rettangolo avente AB come ipotenusa e cateti paralleli agli assi coordinati.

\[\quad\]

\[\quad\]

Costruzione geometrica

\[\quad\]

  • Si tracci una retta verticale parallela all’asse y passante per B (equazione x = x_{2}).

    •  

  • Si tracci una retta orizzontale parallela all’asse x passante per A (equazione y = y_{1}).

    •  

  • L’intersezione di tali rette è il punto C(x_{2},y_{1}); i cateti del triangolo ABC misurano |x_{2}-x_{1}| orizzontalmente e |y_{2}-y_{1}| verticalmente.

\[\quad\]

\[\quad\]

Rappresentazione grafica

\[\quad\]

Rendered by QuickLaTeX.com

Figura 1: triangolo rettangolo determinato dai punti A e B, con cateti CA lungo l’asse x (lunghezza |x_{2}-x_{1}|) e CB lungo l’asse y (lunghezza |y_{2}-y_{1}|), e ipotenusa AB.

\[\quad\]


Derivazione della formula.

Siano A=(x_{1},y_{1}) e B=(x_{2},y_{2}). Con AB indichiamo il segmento che congiunge i due punti, mentre con \lvert AB\rvert denotiamo la sua lunghezza.

Applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo con vertici A\bigl(x_{1},y_{1}\bigr), B\bigl(x_{2},y_{2}\bigr) e C\bigl(x_{2},y_{1}\bigr) si ottiene

\[\lvert AB\rvert^{2} = (x_{2}-x_{1})^{2} + (y_{2}-y_{1})^{2}, \qquad\Longrightarrow\qquad \boxed{\;\lvert AB\rvert = \sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2} + (y_{2}-y_{1})^{2}}\;} .\]

La relazione è valida per qualunque coppia di coordinate reali.


Esempio numerico nel piano.

Con A=(2,3) e B=(6,7) si ha

\[\lvert AB\rvert = \sqrt{(6-2)^{2} + (7-3)^{2}} = \sqrt{4^{2} + 4^{2}} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \approx 5{,}66.\]


 
 

Esercizi

\[\quad\]

Esercizio 1 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare la lunghezza \lvert AB\rvert per ciascuna delle seguenti coppie di punti del piano cartesiano:

\[\quad\]

  1. A = (4,1),  B = (2,6).

    2.  

  2. A = (3,8),  B = \left(3,\frac{19}{2}\right).

    3.  

  3. A = \left(-4,-\frac{4}{3}\right),  B = (-7,-2).

    4.  

  4. A = (-4,-4),  B = \left(\frac12,-4\right).

    5.  

  5. A = (2,0),  B = (8,0).

    6.  

  6. A = (2,5),  B = (5,6).

    7.  

  7. A = (-2,-1),  B = (4,2).

    8.  

  8. A = \left(-\frac34,4\right),  B = \left(\frac{17}{4},2\right).

    9.  

  9. A = \left(\frac32,2\right),  B = \left(9,\frac{31}{2}\right).

    10.  

  10. A = \bigl(1+\sqrt3,\,2\sqrt3\bigr),  B = \bigl(1,\,\sqrt3\bigr).

    11.  

  11. A = \bigl(2+\sqrt2,0\bigr),  B = \bigl(2,\sqrt7\bigr).

Svolgimento.

  1. Con A=(4,1) e B=(2,6) si ha

    \[\begin{aligned} \lvert AB\rvert &= \sqrt{(2-4)^{2} + (6-1)^{2}} \\ &= \sqrt{(-2)^{2} + 5^{2}} \\ &= \sqrt{4 + 25} \\ &= \sqrt{29}. \end{aligned}\]

    2.  

  2. Con A=(3,8) e B=\bigl(3,\tfrac{19}{2}\bigr) si ha

    \[\begin{aligned} \lvert AB\rvert &= \sqrt{(3-3)^{2} + \left(\tfrac{19}{2}-8\right)^{2}} \\ &= \sqrt{0 + \left(\tfrac32\right)^{2}} \\ &= \sqrt{\tfrac{9}{4}} \\ &= \tfrac{3}{2}. \end{aligned}\]

    3.  

  3. Con A=\bigl(-4,-\tfrac{4}{3}\bigr) e B=(-7,-2) si ha

    \[\begin{aligned} \lvert AB\rvert &= \sqrt{\bigl(-7+4\bigr)^{2} + \left(-2+\tfrac43\right)^{2}} \\ &= \sqrt{(-3)^{2} + \left(-\tfrac23\right)^{2}} \\ &= \sqrt{9 + \tfrac{4}{9}} \\ &= \sqrt{\tfrac{85}{9}} \\ &= \tfrac{\sqrt{85}}{3}. \end{aligned}\]

    4.  

  4. Con A=(-4,-4) e B=\bigl(\tfrac12,-4\bigr) si ha

    \[\begin{aligned} \lvert AB\rvert &= \sqrt{\left(\tfrac12+4\right)^{2} + 0^{2}} \\ &= \sqrt{\left(\tfrac92\right)^{2}} \\ &= \tfrac{9}{2}. \end{aligned}\]

    5.  

  5. Con A=(2,0) e B=(8,0) si ha

    \[\begin{aligned} \lvert AB\rvert &= \sqrt{(8-2)^{2} + 0^{2}} \\ &= \sqrt{6^{2}} \\ &= 6. \end{aligned}\]

    6.  

  6. Con A=(2,5) e B=(5,6) si ha

    \[\begin{aligned} \lvert AB\rvert &= \sqrt{(5-2)^{2} + (6-5)^{2}} \\ &= \sqrt{3^{2} + 1^{2}} \\ &= \sqrt{9 + 1} \\ &= \sqrt{10}. \end{aligned}\]

    7.  

  7. Con A=(-2,-1) e B=(4,2) si ha

    \[\begin{aligned} \lvert AB\rvert &= \sqrt{(4+2)^{2} + (2+1)^{2}} \\ &= \sqrt{6^{2} + 3^{2}} \\ &= \sqrt{36 + 9} \\ &= \sqrt{45} \\ &= 3\sqrt{5}. \end{aligned}\]

    8.  

  8. Con A=\bigl(-\tfrac34,4\bigr) e B=\bigl(\tfrac{17}{4},2\bigr) si ha

    \[\begin{aligned} \lvert AB\rvert &= \sqrt{\left(\tfrac{17}{4}+\tfrac34\right)^{2} + (2-4)^{2}} \\ &= \sqrt{5^{2} + (-2)^{2}} \\ &= \sqrt{25 + 4} \\ &= \sqrt{29}. \end{aligned}\]

    9.  

  9. Con A=\bigl(\tfrac32,2\bigr) e B=\bigl(9,\tfrac{31}{2}\bigr) si ha

    \[\begin{aligned} \lvert AB\rvert &= \sqrt{\left(9-\tfrac32\right)^{2} + \left(\tfrac{31}{2}-2\right)^{2}} \\ &= \sqrt{\left(\tfrac{15}{2}\right)^{2} + \left(\tfrac{27}{2}\right)^{2}} \\ &= \sqrt{\tfrac{225}{4} + \tfrac{729}{4}} \\ &= \sqrt{\tfrac{954}{4}} \\ &= \tfrac{\sqrt{954}}{2} = \tfrac{3\sqrt{106}}{2}. \end{aligned}\]

    10.  

  10. Con A=\bigl(1+\sqrt3,\,2\sqrt3\bigr) e B=(1,\sqrt3) si ha

    \[\begin{aligned} \lvert AB\rvert &= \sqrt{\bigl(1-(1+\sqrt3)\bigr)^{2} + \bigl(\sqrt3-2\sqrt3\bigr)^{2}} \\ &= \sqrt{(-\sqrt3)^{2} + (-\sqrt3)^{2}} \\ &= \sqrt{3 + 3} \\ &= \sqrt{6}. \end{aligned}\]

    11.  

  11. Con A=\bigl(2+\sqrt2,0\bigr) e B=(2,\sqrt7) si ha

    \[\begin{aligned} \lvert AB\rvert &= \sqrt{\bigl(2-(2+\sqrt2)\bigr)^{2} + (\sqrt7-0)^{2}} \\ &= \sqrt{(-\sqrt2)^{2} + (\sqrt7)^{2}} \\ &= \sqrt{2 + 7} \\ &= \sqrt{9} \\ &= 3. \end{aligned}\]


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Determinare il perimetro del triangolo avente vertici A=(2,4), B=(2,1) e C=(6,3).

Svolgimento.

Le lunghezze dei lati del triangolo sono:

\[\begin{aligned} \lvert AB\rvert &= \sqrt{(2-2)^{2} + (1-4)^{2}} = \sqrt{0^{2} + (-3)^{2}} = \sqrt{9} = 3,\\[6pt] \lvert BC\rvert &= \sqrt{(6-2)^{2} + (3-1)^{2}} = \sqrt{4^{2} + 2^{2}} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5},\\[6pt] \lvert CA\rvert &= \sqrt{(2-6)^{2} + (4-3)^{2}} = \sqrt{(-4)^{2} + 1^{2}} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}. \end{aligned}\]

Il perimetro del triangolo è quindi

\[P = \lvert AB\rvert + \lvert BC\rvert + \lvert CA\rvert = 3 + 2\sqrt{5} + \sqrt{17}.\]

\[\quad\]

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Figura 2: triangolo ABC con \lvert AB\rvert=3, \lvert BC\rvert=2\sqrt{5}, \lvert CA\rvert=\sqrt{17}.

\[\quad\]


 
 

Esercizio 3 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Calcola il perimetro del quadrilatero di vertici A=(-5,6), B=(0,6), C=(2,2) e D=(-3,-3).

Svolgimento.

Le lunghezze dei lati del quadrilatero sono:

\[\begin{aligned} \lvert AB\rvert &= \sqrt{\bigl(0-(-5)\bigr)^{2} + (6-6)^{2}} = \sqrt{5^{2}+0^{2}} = 5,\\[6pt] \lvert BC\rvert &= \sqrt{(2-0)^{2} + (2-6)^{2}} = \sqrt{2^{2}+(-4)^{2}} = \sqrt{4+16} = 2\sqrt{5},\\[6pt] \lvert CD\rvert &= \sqrt{\bigl(-3-2\bigr)^{2} + \bigl(-3-2\bigr)^{2}} = \sqrt{(-5)^{2}+(-5)^{2}} = \sqrt{25+25} = 5\sqrt{2},\\[6pt] \lvert DA\rvert &= \sqrt{\bigl(-5-(-3)\bigr)^{2} + (6-(-3))^{2}} = \sqrt{(-2)^{2}+9^{2}} = \sqrt{4+81} = \sqrt{85}. \end{aligned}\]

\[\quad\]

\[\quad\]

Perimetro del quadrilatero

\[P=\lvert AB\rvert+\lvert BC\rvert+\lvert CD\rvert+\lvert DA\rvert = 5 + 2\sqrt{5} + 5\sqrt{2} + \sqrt{85}.\]

\[\quad\]

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Figura 3: Quadrilatero ABCD con \lvert AB\rvert=5, \lvert BC\rvert=2\sqrt{5}, \lvert CD\rvert=5\sqrt{2} e \lvert DA\rvert=\sqrt{85}.

\[\quad\]


 
 

Esercizio 4 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Stabilisci se il triangolo ABC di vertici A=(-5,6), B=(-1,4) e C=(4,-1) è isoscele, ossia se esistono due lati di eguale lunghezza (ad esempio \lvert AB\rvert=\lvert AC\rvert).

Svolgimento.

Le lunghezze dei lati del triangolo sono:

\[\begin{aligned} \lvert AB\rvert &= \sqrt{(-1-(-5))^{2} + (4-6)^{2}} = \sqrt{4^{2}+(-2)^{2}} = \sqrt{16+4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5},\\[6pt] \lvert BC\rvert &= \sqrt{(4-(-1))^{2} + (-1-4)^{2}} = \sqrt{5^{2}+(-5)^{2}} = \sqrt{25+25} = 5\sqrt{2},\\[6pt] \lvert CA\rvert &= \sqrt{(4-(-5))^{2} + (-1-6)^{2}} = \sqrt{9^{2}+(-7)^{2}} = \sqrt{81+49} = \sqrt{130}. \end{aligned}\]

Poiché le tre lunghezze ottenute 2\sqrt{5},\,5\sqrt{2},\,\sqrt{130} sono tutte diverse, il triangolo ABC non è isoscele, bensì scaleno.

\[\quad\]

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Figura 4: triangolo ABC con \lvert AB\rvert=2\sqrt{5}, \lvert BC\rvert=5\sqrt{2}, \lvert CA\rvert=\sqrt{130}; tutte le lunghezze sono diverse, quindi il triangolo è scaleno.

\[\quad\]


 
 

Esercizio 5 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Dati i punti

\[A=(-3,0),\quad B=(5,0),\quad C=(1,4\sqrt{3}),\]

calcola le lunghezze \lvert AB\rvert, \lvert BC\rvert e \lvert CA\rvert del triangolo ABC applicando la formula della distanza tra due punti, verifica se il triangolo è equilatero e determina il suo perimetro.

Svolgimento.

Le lunghezze dei lati del triangolo sono:

\[\begin{aligned} \lvert AB\rvert &= \sqrt{(5-(-3))^{2} + (0-0)^{2}} = \sqrt{8^{2}} = 8,\\[6pt] \lvert BC\rvert &= \sqrt{(1-5)^{2} + (4\sqrt{3}-0)^{2}} = \sqrt{(-4)^{2} + (4\sqrt{3})^{2}} = \sqrt{16 + 48} = 8,\\[6pt] \lvert CA\rvert &= \sqrt{(1-(-3))^{2} + (4\sqrt{3}-0)^{2}} = \sqrt{4^{2} + (4\sqrt{3})^{2}} = \sqrt{16 + 48} = 8. \end{aligned}\]

Poiché \lvert AB\rvert = \lvert BC\rvert = \lvert CA\rvert = 8, il triangolo è equilatero, e il perimetro vale

\[P = \lvert AB\rvert + \lvert BC\rvert + \lvert CA\rvert = 8 + 8 + 8 = 24.\]

\[\quad\]

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Figura 5: triangolo ABC con \lvert AB\rvert = \lvert BC\rvert = \lvert CA\rvert = 8 (equilatero, perimetro 24).

\[\quad\]


 
 

Esercizio 6 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Verifica che il quadrilatero di vertici A=(2,1), B=(8,2), C=(11,7), D=(5,6) è un parallelogramma. (Suggerimento: controlla che \lvert AB\rvert=\lvert CD\rvert e \lvert BC\rvert=\lvert DA\rvert.)

Svolgimento.

Si ha:

\[\begin{aligned} \lvert AB\rvert &= \sqrt{(8-2)^{2} + (2-1)^{2}} = \sqrt{6^{2} + 1^{2}} = \sqrt{36 + 1} = \sqrt{37};\\[6pt] \lvert BC\rvert &= \sqrt{(11-8)^{2} + (7-2)^{2}} = \sqrt{3^{2} + 5^{2}} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34};\\[6pt] \lvert CD\rvert &= \sqrt{(5-11)^{2} + (6-7)^{2}} = \sqrt{(-6)^{2} + (-1)^{2}} = \sqrt{36 + 1} = \sqrt{37};\\[6pt] \lvert DA\rvert &= \sqrt{(2-5)^{2} + (1-6)^{2}} = \sqrt{(-3)^{2} + (-5)^{2}} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34}. \end{aligned}\]

Poiché

\[\lvert AB\rvert=\lvert CD\rvert=\sqrt{37},\qquad \lvert BC\rvert=\lvert DA\rvert=\sqrt{34},\]

le due coppie di lati opposti sono congruenti: il quadrilatero ABCD è quindi un parallelogramma.

\[\quad\]

\[\quad\]

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Figura 6: uadrilatero ABCD con \lvert AB\rvert=\lvert CD\rvert=\sqrt{37} (blu) e \lvert BC\rvert=\lvert DA\rvert=\sqrt{34} (rosso): è un parallelogramma.

\[\quad\]


 
 

Esercizio 7 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Stabilisci se il triangolo ABC di vertici A=(1,-2), B=(-1,2), C=(-1,-3) è rettangolo, verificando se le lunghezze \lvert AB\rvert, \lvert BC\rvert e \lvert CA\rvert soddisfano il teorema di Pitagora.

Svolgimento.

Le lunghezze dei lati del triangolo sono:

\[\begin{aligned} \lvert AB\rvert &= \sqrt{(-1-1)^{2} + (2-(-2))^{2}} = \sqrt{(-2)^{2} + 4^{2}} = \sqrt{4 + 16} = 2\sqrt{5};\\[6pt] \lvert BC\rvert &= \sqrt{(-1-(-1))^{2} + (-3-2)^{2}} = \sqrt{0^{2} + (-5)^{2}} = 5;\\[6pt] \lvert CA\rvert &= \sqrt{(1-(-1))^{2} + (-2-(-3))^{2}} = \sqrt{2^{2} + 1^{2}} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}. \end{aligned}\]

Verifichiamo il teorema di Pitagora:

\[\lvert CA\rvert^{2} + \lvert AB\rvert^{2} = (\sqrt{5})^{2} + \bigl(2\sqrt{5}\bigr)^{2} = 5 + 20 = 25 = 5^{2} = \lvert BC\rvert^{2}.\]

Poiché la relazione è soddisfatta, il triangolo ABC è rettangolo e l’angolo retto si trova nel vertice A.

\[\quad\]

\[\quad\]

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Figura 7: triangolo ABC con \lvert AB\rvert = 2\sqrt{5}, \lvert BC\rvert = 5 e \lvert CA\rvert = \sqrt{5}: la condizione \lvert AB\rvert^{2} + \lvert CA\rvert^{2} = \lvert BC\rvert^{2} conferma che è rettangolo in A.

\[\quad\]


 
 

Esercizio 8 (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Sia P=(x,0) un punto sull’asse x. Determinare x tale che \lvert AP\rvert=\lvert BP\rvert, dove A=(-5,5) e B=(0,2).

Svolgimento.

Sia P=(x,0) un punto sull’asse x. Vogliamo determinarne la coordinata imponendo che la sua distanza da A=(-5,5) e da B=(0,2) sia la stessa. Applicando la formula della distanza otteniamo

\[\lvert PA\rvert=\sqrt{(x+5)^{2}+25}, \qquad \lvert PB\rvert=\sqrt{x^{2}+4}.\]

Imponendo l’equidistanza \lvert PA\rvert=\lvert PB\rvert ed elevando al quadrato:

\[(x+5)^{2}+25=x^{2}+4.\]

\[\begin{aligned} x^{2}+10x+50 &= x^{2}+4 \\[2pt] 10x &= -46 \\[2pt] x &= -\frac{23}{5}. \end{aligned}\]

Il punto cercato è quindi

\[P=\Bigl(-\dfrac{23}{5},\,0\Bigr).\]

\[\quad\]

\[\quad\]

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Figura 8: il punto P sull’asse x equidistante da A e B.

\[\quad\]


Osservazione.

Nel disegno compaiono due stanghette identiche sui segmenti PA e PB: indicano che i segmenti sono congruenti, come conferma il calcolo seguente. Sia A=(-5,\,5), B=(0,\,2) e P=\bigl(-\tfrac{23}{5},\,0\bigr). Allora

\[\begin{aligned} PA &\,= \sqrt{\bigl((-5)-(-\tfrac{23}{5})\bigr)^{2} + (5-0)^{2}} = \sqrt{\bigl(-\tfrac{2}{5}\bigr)^{2} + 5^{2}} = \sqrt{\tfrac{4}{25} + 25} = \sqrt{\tfrac{629}{25}} = \tfrac{\sqrt{629}}{5},\\[6pt] PB &\,= \sqrt{\bigl(0-(-\tfrac{23}{5})\bigr)^{2} + (2-0)^{2}} = \sqrt{\bigl(\tfrac{23}{5}\bigr)^{2} + 2^{2}} = \sqrt{\tfrac{529}{25} + 4} = \sqrt{\tfrac{629}{25}} = \tfrac{\sqrt{629}}{5}. \end{aligned}\]


 
 

Esercizio 9 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Individua il punto P che ha ordinata uguale all’ascissa e soddisfa \lvert AP\rvert=\lvert BP\rvert, dove A=(-2,2) e B=(5,4).

Svolgimento.

Sia P=(x,0) un punto sull’asse x. Vogliamo determinarne la coordinata imponendo che la sua distanza da A=(-5,5) e da B=(0,2) sia la stessa. Applicando la formula della distanza otteniamo

\[\lvert PA\rvert=\sqrt{(x+5)^{2}+25}, \qquad \lvert PB\rvert=\sqrt{x^{2}+4}.\]

Imponendo l’equidistanza \lvert PA\rvert=\lvert PB\rvert ed elevando al quadrato:

\[\begin{aligned} \lvert AP\rvert &= \lvert BP\rvert \;\Longleftrightarrow\; (x+5)^{2}+25 = x^{2}+4\\[4pt] &\Longleftrightarrow\; x^{2}+10x+50 = x^{2}+4\\[4pt] &\Longleftrightarrow\; 10x = -46\\[4pt] &\Longleftrightarrow\; x = -\dfrac{23}{5}. \end{aligned}\]

Il punto cercato è quindi

\[P=\Bigl(-\dfrac{23}{5},\,0\Bigr)\approx(-4{,}6,\,0).\]

\[\quad\]

\[\quad\]

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Figura 9: il punto P sull’asse x equidistante da A e B.

\[\quad\]


 
 

Esercizio 10 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Trova per quali valori di k il punto P=(k+2,k+1) è tale che \lvert AP\rvert=\lvert BP\rvert, con A=(-2,1) e B=(4,-2).

Svolgimento.

La lunghezza di un segmento PQ con estremi P=(x_P,y_P) e Q=(x_Q,y_Q) è

\[\lvert PQ\rvert=\sqrt{(x_Q-x_P)^{2}+(y_Q-y_P)^{2}}.\]

Imponiamo che il punto

\[P=(k+2,\;k+1)\]

sia equidistante da

\[A=(-2,1), \qquad B=(4,-2),\]

cioè \lvert PA\rvert=\lvert PB\rvert. Per evitare le radici uguagliamo i quadrati delle distanze:

\[\begin{aligned} \lvert PA\rvert^{2} &= (k+2-(-2))^{2} + \bigl(k+1-1\bigr)^{2} \;=\;(k+4)^{2}+k^{2},\\[4pt] \lvert PB\rvert^{2} &= (k+2-4)^{2} + \bigl(k+1-(-2)\bigr)^{2} \;=\;(k-2)^{2}+(k+3)^{2}. \end{aligned}\]

Posto \lvert PA\rvert^{2}=\lvert PB\rvert^{2}:

\[(k+4)^{2}+k^{2}=(k-2)^{2}+(k+3)^{2}.\]

\[k^{2}+8k+16+k^{2}=k^{2}-4k+4+k^{2}+6k+9 \;\Longrightarrow\; 2k^{2}+8k+16=2k^{2}+2k+13.\]

\[6k+3=0 \;\Longleftrightarrow\; k=-\frac12.\]

Pertanto

\[\boxed{k=-\dfrac12}, \qquad P=\Bigl(k+2,\,k+1\Bigr)=\Bigl(\tfrac32,\,\tfrac12\Bigr).\]

\[\quad\]

\[\quad\]

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Figura 10: il punto P(k+2,k+1) è equidistante da A e B solo per k=-\frac12.

\[\quad\]


 
 

Esercizio 11 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Determinare per quali valori di a la distanza tra i punti A=(2a+3,\,2) e B=(1,\,2a) è pari a 4; ovvero \lvert AB\rvert=4.

Svolgimento.

La lunghezza del segmento \lvert AB\rvert dev’essere pari a 4, dunque

\[\lvert AB\rvert = 4 \;\Longrightarrow\; \lvert AB\rvert^{2}=16,\]

dove

\[\lvert AB\rvert^{2} =\bigl(1-(2a+3)\bigr)^{2}+\bigl(2a-2\bigr)^{2}.\]

\[\begin{aligned} (1-2a-3)^{2}+(2a-2)^{2} &= 16 \\[6pt] (-2a-2)^{2}+(2a-2)^{2} &= 16 \\[6pt] 4(a+1)^{2}+(2a-2)^{2} &= 16 \\[6pt] 4\bigl(a^{2}+2a+1\bigr)+4a^{2}-8a+4 &= 16 \\[6pt] \underbrace{(4a^{2}+8a+4)+(4a^{2}-8a+4)}_{8a^{2}+8} &= 16 \\[6pt] 8a^{2}+8 &= 16 \\[6pt] 8a^{2} &= 8 \\[6pt] a^{2} &= 1 \\[6pt] a &= \pm 1. \end{aligned}\]

Quindi la condizione \lvert AB\rvert = 4 è soddisfatta se e solo se

\[\boxed{\,a = 1 \quad\text{oppure}\quad a = -1\,}.\]

\[\quad\]

\[\quad\]

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Figura 11: i due segmenti di lunghezza \lvert AB\rvert = 4: in blu per a = 1 e in rosso per a = -1.

\[\quad\]


 
 

Esercizio 12 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare per quali valori di k la lunghezza del segmento \lvert PQ\rvert che congiunge i punti

\[P=\bigl(2,\,1+k\bigr),\qquad Q=\Bigl(\tfrac{k}{2},\,0\Bigr)\]

ha una lughezza pari a 5.

Svolgimento.

Siano

\[P=(2,\,1+k), \qquad Q=\Bigl(\tfrac{k}{2},\,0\Bigr).\]

La lunghezza del segmento che li unisce è

\[\lvert PQ\rvert =\sqrt{\Bigl(\tfrac{k}{2}-2\Bigr)^{2}+\bigl(0-(1+k)\bigr)^{2}}.\]

Imponiamo \lvert PQ\rvert = 5, cioè \lvert PQ\rvert^{2}=25:

\[\frac{(k-4)^{2}}{4}+(k+1)^{2}=25 \;\Longrightarrow\; (k-4)^{2}+4(k+1)^{2}=100.\]

Sviluppando e riducendo:

\[5k^{2}+20=100 \;\Longrightarrow\; k^{2}=16 \;\Longrightarrow\; k=\pm4.\]

Verifica.

\[\quad\]

  1. k=4: P=(2,5), Q=(2,0);\; \lvert PQ\rvert=\sqrt{(2-2)^{2}+(0-5)^{2}}=5.

    2.  

  2. k=-4: P=(2,-3), Q=(-2,0);\; \lvert PQ\rvert=\sqrt{(-2-2)^{2}+(0+3)^{2}}=5.

\[\boxed{k=4 \quad\text{oppure}\quad k=-4}\]

\[\quad\]

\[\quad\]

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Figura 12: segmenti PQ di lunghezza 5 per k=4 (blu) e k=-4 (rosso).

\[\quad\]


 
 

Esercizio 13 (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Determinare il circocentro del triangolo ABC con vertici A=(7,1), B=(2,7), C=(-2,-2).

Svolgimento.

Il circocentro di un triangolo è l’unico punto del piano equidistante dai tre vertici; di conseguenza coincide con il centro della circonferenza circoscritta al triangolo. Dati i vertici A=(7,1), B=(2,7) e C=(-2,-2), chiamiamo O=(x,y) il circocentro e imponiamo le equidistanze \lvert OA\rvert = \lvert OB\rvert e \lvert OB\rvert = \lvert OC\rvert (la terza \lvert OA\rvert = \lvert OC\rvert segue automaticamente).

\[\begin{aligned} \lvert OA\rvert^{2} &= (x-7)^{2} + (y-1)^{2},\\ \lvert OB\rvert^{2} &= (x-2)^{2} + (y-7)^{2},\\ \lvert OC\rvert^{2} &= (x+2)^{2} + (y+2)^{2}. \end{aligned}\]

Uguagliando le prime due lunghezze si ottiene

\[\lvert OA\rvert^{2}=\lvert OB\rvert^{2}\;\;\Longrightarrow\;\;10x-12y+3=0.\]

Uguagliando la seconda e la terza si ottiene

\[\lvert OB\rvert^{2}=\lvert OC\rvert^{2}\;\;\Longrightarrow\;\;8x+18y-45=0.\]

Otteniamo quindi il sistema lineare

\[\begin{cases} 10x-12y+3=0,\\ 8x+18y-45=0. \end{cases}\]

Per risolvere il sistema procediamo come segue.

\[\quad\]

  1. Moltiplichiamo la prima equazione per 3 e la seconda per 2 per eliminare y:

    \[\begin{aligned} 30x-36y+9 &= 0,\\ 16x+36y-90 &= 0. \end{aligned}\]

    2.  

  2. Sommiamo membro a membro:

    \[46x-81=0 \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{81}{46}.\]

    3.  

  3. Sostituiamo x nella prima equazione originale:

    \[10\left(\frac{81}{46}\right)-12y+3=0 \;\Longrightarrow\; \frac{810}{46}-12y+3=0.\]

    4.  

  4. Portiamo i termini noti a destra:

    \[-12y = -\frac{810}{46}-3 = -\frac{810}{46}-\frac{138}{46} = -\frac{948}{46}, \qquad y = \frac{948}{46\cdot12} = \frac{79}{46}.\]

Si conclude che le coordinate del circocentro sono

\[O\!\left(\frac{81}{46},\,\frac{79}{46}\right)\;\approx\;(1{,}76,\;1{,}72).\]

\[\quad\]

\[\quad\]

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Figura 13: triangolo ABC, circocentro O e circonferenza circoscritta.

\[\quad\]


Approfondimento sul circocentro.

  1. Luogo dei punti equidistanti da due vertici. Dati due punti A e B, l’insieme di tutti i punti del piano che hanno la stessa distanza da A e da B è la retta perpendicolare al segmento AB nel suo punto medio, detta asse di AB. Infatti, se un punto P ha \lvert PA\rvert=\lvert PB\rvert, allora il triangolo PAB è isoscele con base AB e la mediana relativa alla base è anche altezza, ossia perpendicolare a AB. Viceversa, ogni punto sull’asse di AB forma con A e B due triangoli rettangoli congruenti, perciò \lvert PA\rvert=\lvert PB\rvert.

    2.  

  2. Intersezione di due assi. Ripetendo il ragionamento per un’altra coppia di vertici, ad esempio B e C, otteniamo il secondo asse. Poiché i lati di un triangolo non sono paralleli a coppie, i due assi non sono paralleli: si incontrano in un solo punto O. Questo punto appartiene sia al luogo dei punti equidistanti da A e B sia a quello dei punti equidistanti da B e C; dunque

    \[\lvert OA\rvert = \lvert OB\rvert = \lvert OC\rvert.\]

    L’esistenza dell’intersezione garantisce l’esistenza del circocentro; l’unicità segue dal fatto che due rette distinte possono incontrarsi in al più un punto.

    3.  

  3. Costruzione della circonferenza circoscritta. Scelto O e fissato il raggio R=\lvert OA\rvert\,(=\lvert OB\rvert=\lvert OC\rvert), la circonferenza di centro O e raggio R passa per A, B e C. Poiché per un dato centro e un dato raggio esiste una sola circonferenza, O è necessariamente il centro della circoscritta: da qui il nome circocentro.

    4.  

  4. Posizione del circocentro.

    \[\quad\]

    • In un triangolo acutangolo i tre assi si incontrano all’interno del triangolo.

      •  

    • In un triangolo rettangolo l’intersezione cade esattamente a metà dell’ipotenusa.

      •  

    • In un triangolo ottusangolo il punto O si trova all’esterno, perché gli assi dei lati che formano l’angolo ottuso si intersecano oltre il triangolo.

In sintesi, il circocentro è il punto d’intersezione (unico e ben definito) degli assi dei lati; la sua equidistanza dai vertici assicura che la circonferenza di centro O e raggio \lvert OA\rvert passi esattamente per quei vertici, cioè sia la circonferenza circoscritta.


 
 

Esercizio 14 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Trovare i valori di a e b tali che il punto P=(a,b) sia equidistante dai punti A=(-4,0), B=(0,3) e C=(1,0); cioè \lvert AP\rvert=\lvert BP\rvert=\lvert CP\rvert.

Svolgimento.

Sia P=(a,b) tale che \lvert PA\rvert=\lvert PB\rvert=\lvert PC\rvert con A=(-4,0), B=(0,3) e C=(1,0). Uguagliando i quadrati delle distanze PA e PB si ottiene

\[\lvert PA\rvert^{2}=(a+4)^{2}+b^{2}, \qquad \lvert PB\rvert^{2}=a^{2}+(b-3)^{2},\]

da cui

\[(a+4)^{2}+b^{2}=a^{2}+(b-3)^{2} \;\Longleftrightarrow\; 8a+6b+7=0.\]

Analogamente, uguagliando \lvert PA\rvert^{2} e \lvert PC\rvert^{2} con

\[\lvert PC\rvert^{2}=(a-1)^{2}+b^{2},\]

si ricava

\[(a+4)^{2}+b^{2}=(a-1)^{2}+b^{2} \;\Longleftrightarrow\; 10a+15=0 \;\Longleftrightarrow\; a=-\frac32.\]

Sostituendo il valore di a nell’equazione 8a+6b+7=0 si ottiene

\[8\!\left(-\frac32\right)+6b+7=0 \;\Longleftrightarrow\; 6b=5 \;\Longleftrightarrow\; b=\frac56.\]

Pertanto il punto equidistante dai tre punti dati è

\[P\Bigl(-\tfrac32,\,\tfrac56\Bigr).\]

Infine si verifica

\[\lvert PA\rvert^{2}=\lvert PB\rvert^{2}=\lvert PC\rvert^{2} =\frac{250}{36},\]

confermando che P è effettivamente equidistante da A, B e C.

\[\quad\]

\[\quad\]

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Figura 14: il punto P(-\tfrac32,\tfrac56) è equidistante da A, B e C.

\[\quad\]


 
 

Esercizio 15 (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Verificare che il quadrilatero ABCD, con vertici A(3,0), B(0,-1), C(1,2) e D(4,3), sia un rombo e, successivamente, si dimostri che non è un quadrato.

Svolgimento.

Per esaminare la natura del quadrilatero ABCD calcoliamo dapprima le lunghezze dei lati: per due punti P=(x_{1},y_{1}) e Q=(x_{2},y_{2}) vale

\[\lvert PQ\rvert^{2}=(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}.\]

\[\begin{aligned} \lvert AB\rvert^{2} &= (0-3)^{2}+(-1-0)^{2}=10, &\quad \lvert BC\rvert^{2}&=(1-0)^{2}+(2+1)^{2}=10,\\[4pt] \lvert CD\rvert^{2} &= (4-1)^{2}+(3-2)^{2}=10, &\quad \lvert DA\rvert^{2}&=(3-4)^{2}+(0-3)^{2}=10. \end{aligned}\]

Ne segue che i quattro lati sono congruenti: \lvert AB\rvert=\lvert BC\rvert=\lvert CD\rvert=\lvert DA\rvert=\sqrt{10}.

Passiamo alle diagonali:

\[\lvert AC\rvert^{2}=(1-3)^{2}+(2-0)^{2}=8, \qquad \lvert BD\rvert^{2}=(4-0)^{2}+(3+1)^{2}=32,\]

quindi \lvert AC\rvert=2\sqrt{2} e \lvert BD\rvert=4\sqrt{2}, lunghezze diverse.

Un quadrilatero con tutti i lati congruenti è un rombo; poiché le sue diagonali non sono congruenti, esso non può essere un quadrato.

\[\quad\]

\[\quad\]

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Figura 15: quadrilatero ABCD con diagonali tratteggiate.

\[\quad\]


 
 

Riferimenti bibliografici

[1] Bergamini, M., Trifone, A. & Barozzi, G., Matematica. Corso base blu 2.0 Zanichelli, Bologna (2011).