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Ascissa e ordinata

Piano cartesiano e retta

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Cosa sono ascissa e ordinata?

Una delle più grandi rivoluzioni nella matematica è stata sicuramente l’introduzione del piano cartesiano, ovvero il classico piano della geometria euclidea, dotato però di due assi orientati, tra loro ortogonali: uno orizzontale e l’altro verticale. Tali assi sono pensati graduati, ovvero dotati di un’unità di misura, ed essi fungono appunto da “metro”, ossia per fornire un riferimento così da poter misurare le distanze tra i punti.

Un’idea fondamentale è che, in questo modo, ogni punto P del piano è individuato in modo univoco da una coppia ordinata di numeri reali, dette coordinate, il primo dei quali è solitamente indicato con la lettera x, mentre il secondo è indicato con la lettera y:

\[P = (x,y).\]

La coordinata x rappresenta la lunghezza con segno della proiezione di P sull’asse orizzontale, ed è detta ascissa; la coordinata y, invece, rappresenta la lunghezza con segno della proiezione di P sull’asse verticale, ed è detta ordinata, come rappresentato nella figura seguente.

ascissa e ordinata

 
 

Figura 1.

 

Sommario

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Articolo introduttivo sul concetto di ascissa e ordinata, ovvero le coordinate utilizzate nel piano cartesiano per individuare i punti in esso contenuti.

 

Autori e revisori

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Autori: Luigi De Masi,Valerio Brunetti.

 

Ascissa e ordinata: base della geometria analitica

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Le coordinate cartesiane, come intuibile, hanno molteplici applicazioni in matematica, in quanto hanno consentito la descrizione numerica, algebrica, di oggetti geometrici come i punti del piano.

La geometria analitica si propone lo scopo di studiare gli enti geometrici descritti dalle coordinate cartesiane. Oltre ai punti, infatti, ascissa e ordinata consentono di descrivere algebricamente oggetti geometrici ben più complessi: rette, segmenti, circonferenze, curve generiche.

Ad esempio una retta nel piano cartesiano è costituita dall’insieme dei punti (x,y) le cui coordinate cartesiane soddisfano un’equazione di primo grado del tipo

\[ax+by +c=0,\]

dove a,b,c sono numeri reali fissati. Ad esempio, se a=0 si ottengono, al variare di b,c, tutte le rette orizzontali, ossia parallele all’asse delle ascisse; invece le rette nella cui equazione si ha b=0 sono parallele all’asse verticale delle ordinate.

Equazioni di secondo grado descrivono invece oggetti più complessi, dette sezioni coniche, in quanto sono le curve che si ottengono dall’intersezione di una superficie conica con un piano: circonferenza, ellisse, parabola e iperbole e le loro proprietà erano note fin dai tempi degli antichi greci. Ad esempio i punti del piano (x,y) che soddisfano l’equazione

\[x^2 + y^2 =1\]

sono esattamente quelli che giacciono sulla circonferenza di centro l’origine degli assi, ossia il punto (0,0), e avente raggio 1. Infatti, per il teorema di Pitagora, il quadrato della distanza del punto (x,y) da (0,0) è dato proprio dalla somma dei quadrati di ascissa e ordinata. L’equazione precedente afferma quindi che il quadrato della distanza dall’origine del punto (x,y) è proprio pari a 1, descrivendo cioè la circonferenza unitaria.

 

Ascissa e ordinata: grafici di funzioni

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Il piano cartesiano può essere utilizzato anche per rappresentare le cosiddette funzioni matematiche, ossia oggetti che trasformano un numero reale in “input”, detto variabile indipendente, in un numero reale in “output”, detto variabile dipendente, tramite delle operazioni matematiche. La variabile indipendente viene solitamente indicata con la lettera x, mentre la variabile dipendente è di solito indicata con la lettera y; dunque una funzione f generica si può descrivere come

\[y=f(x),\]

dove l’espressione f(x) può essere una qualsiasi sequenza di operazioni matematiche da effettuare sul numero reale x in input per ottenere l’output y. Ad esempio

\[f(x)=x^2-2\]

rappresenta una funzione matematica.

Come suggerisce l’uso delle lettere x e y, una funzione matematica si può rappresentare in un piano cartesiano mediante il suo grafico, ossia l’insieme dei punti (x,y) dove y=f(x), ovvero l’insieme dei punti aventi coordinate \big(x,f(x)\big). Come esempio, il grafico della funzione descritta dall’espressione f(x)=x^2-2 è rappresentato sul piano cartesiano dalla curva che segue.

ascissa e ordinata    

Figura 2.

 

 

Ascissa e ordinata: approfondimenti

Il seguente materiale è dedicato ai temi toccati in questa breve introduzione al piano cartesiano e le sue coordinate:

 
 

Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica

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  • Math Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla matematica. È una delle piattaforme più popolari per discutere e risolvere problemi matematici di vario livello, dall’elementare all’avanzato.
  • Art of Problem Solving (AoPS) – Questo sito è molto noto tra gli studenti di matematica di livello avanzato e i partecipanti a competizioni matematiche. Offre forum, corsi online, e risorse educative su una vasta gamma di argomenti.
  • MathOverflow – Questo sito è destinato a matematici professionisti e ricercatori. È una piattaforma per domande di ricerca avanzata in matematica. È strettamente legato a Math Stack Exchange ma è orientato a un pubblico con una formazione più avanzata.
  • PlanetMath – Una comunità collaborativa di matematici che crea e cura articoli enciclopedici e altre risorse di matematica. È simile a Wikipedia, ma focalizzata esclusivamente sulla matematica.
  • Wolfram MathWorld – Una delle risorse online più complete per la matematica. Contiene migliaia di articoli su argomenti di matematica, creati e curati da esperti. Sebbene non sia un forum, è una risorsa eccellente per la teoria matematica.
  • The Math Forum – Un sito storico che offre un’ampia gamma di risorse, inclusi forum di discussione, articoli e risorse educative. Sebbene alcune parti del sito siano state integrate con altri servizi, come NCTM, rimane una risorsa preziosa per la comunità educativa.
  • Stack Overflow (sezione matematica) – Sebbene Stack Overflow sia principalmente noto per la programmazione, ci sono anche discussioni rilevanti di matematica applicata, specialmente nel contesto della scienza dei dati, statistica, e algoritmi.
  • Reddit (r/Math) – Un subreddit popolare dove si possono trovare discussioni su una vasta gamma di argomenti matematici. È meno formale rispetto ai siti di domande e risposte come Math Stack Exchange, ma ha una comunità attiva e molte discussioni interessanti.
  • Brilliant.org – Offre corsi interattivi e problemi di matematica e scienza. È particolarmente utile per chi vuole allenare le proprie capacità di problem solving in matematica.
  • Khan Academy – Una risorsa educativa globale con lezioni video, esercizi interattivi e articoli su una vasta gamma di argomenti di matematica, dalla scuola elementare all’università.