Retta tangente all’ellisse – Esercizio 2

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Esercizio. (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Scrivi le equazioni delle tangenti all’ellisse di equazione

    \[4x^2+y^2=4\]

nei sui punti di ascissa \dfrac{1}{2}.

 

Soluzione
Cerchiamo l’ascissa dei punti di ordinata \dfrac{1}{2} sostituendo y=\dfrac{1}{2} nell’equazione

    \[4 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^2+2 \cdot y^2=4 \quad \Rightarrow \quad 1 + 2y^2=4 \quad \Rightarrow \quad y^2=3\quad \Rightarrow \quad y=\pm\sqrt{3}\]

Quindi i punti per cui passano le rette tangenti sono

    \[A\left(\dfrac{1}{2}, \sqrt{3}\right) \qquad \mbox{e} \qquad B\left(\dfrac{1}{2}, -\sqrt{3}\right)\]

Dato che i punti appartengono all’ellisse possiamo utilizzare la formula di sdoppiamento: dato il punto P(x_P,y_P) appartenente all’ellisse, la retta tangente all’ellisse per P è data da

    \[\dfrac{x \cdot x_P}{a^2} + \dfrac{y \cdot y_P}{b^2} = 1\]

Nel nostro caso con A\left(\dfrac{1}{2}, \sqrt{3}\right)

    \[4 x \cdot x_A+ y \cdot y_P = 4 \quad \Rightarrow \quad 4 x \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right) + y \cdot \sqrt{3} = 4 \quad \Rightarrow \quad 2x+\sqrt{3}y=4\]

e con B\left(\dfrac{1}{2}, -\sqrt{3}\right) abbiamo

    \[4 x \cdot x_A+ y \cdot y_P = 4 \quad \Rightarrow \quad 4 x \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right) + y \cdot (-\sqrt{3}) = 4 \quad \Rightarrow \quad 2x-\sqrt{3}y=4\]

Quindi le rette tangenti sono

    \[\boxed{\pm \sqrt{3}y = 2 x - 4}\]


Fonte: Matematica.blu 2.0 – Zanichelli