Retta tangente all’ellisse – Esercizio 1

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Esercizio. (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Scrivi le equazioni delle tangenti all’ellisse di equazione

    \[9x^2+2y^2=54\]

nei suoi punti di ordinata 3.

 

Soluzione

Cerchiamo l’ascissa dei punti di ordinata 3 sostituendo y=3 nell’equazione

    \[9x^2+2 \cdot (3)^2=54 \quad \Rightarrow \quad 9x^2 + 18 =54 \quad \Rightarrow \quad 9x^2 = 36 \quad \Rightarrow \quad x^2=4 \quad \Rightarrow \quad x=\pm 2\]

Quindi i punti per cui passano le rette tangenti sono

    \[A(2,3) \qquad \mbox{e} \qquad B(-2,3)\]

Dato che i punti appartengono all’ellisse possiamo utilizzare la formula di sdoppiamento: dato il punto P(x_P,y_P) appartenente all’ellisse, la retta tangente all’ellisse per P è data da

    \[\dfrac{x \cdot x_P}{a^2} + \dfrac{y \cdot y_P}{b^2} = 1\]

Nel nostro caso con A(2,3)

    \[9 x \cdot x_A+ 2 y \cdot y_P = 54 \quad \Rightarrow \quad 9 x \cdot 2+ 2 y \cdot 3 = 54 \quad \Rightarrow \quad 18x + 6y=54 \quad \Rightarrow \quad 3x+y=9\]

e con B(-2,3) abbiamo

    \[9 x \cdot x_A+ 2 y \cdot y_P = 54 \quad \Rightarrow \quad 9 x \cdot (-2)+ 2 y \cdot 3 = 54 \quad \Rightarrow \quad -18x + 6y=54 \quad \Rightarrow \quad -3x+y=9\]

Quindi le rette tangenti sono

    \[\boxed{y = \pm 3 x + 9}\]


Fonte: Matematica.blu 2.0 – Zanichelli