Esercizio. 
Stabilire la posizione della retta rispetto all’ellisse:
Stabilire la posizione della retta rispetto all’ellisse:
![\[x^2+4y^2=40 \qquad \qquad x+6y-20=0\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-393552a120d7a233ea9949b28b0dafdb_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Soluzione
Per determinare la posizione della retta rispetto all’ellisse mettiamo a sistema le due equazioni
![\[\begin{cases} x^2+4y^2=40\\ x+6y-20=0 \end{cases}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f79e29047623b8831874df1ab9ce6562_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
da cui
![\[\begin{cases} (20-6y)^2+4y^2=40\\ x=20-6y \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} 400 + 36y^2 - 240 y+4y^2=40\\ x=20-6y \end{cases}\quad \Rightarrow \quad \begin{cases} y^2 - 6 y+ 9=0\\ x=20-6y \end{cases}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-229c4c92712298eb6c173a0be3c57770_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Risolviamo l’equazione l’equazione di secondo grado
![\[y^2 - 6 y+ 9=0\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d1f435e33c350a757418fd6687fc5a10_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
e osserviamo che 
da cui 
quindi
![\[\begin{cases} y=3\\ x=20-18 = 2 \end{cases}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-db3148a879eabe042e8629541d76c7e2_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
quindi la retta è tangente all’ellisse nel punto 
.
Fonte: Matematica.blu 2.0 – Zanichelli