Posizione retta ellisse – Esercizio 2

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Esercizio.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Stabilire la posizione della retta rispetto all’ellisse:

    \[x^2+4y^2=40 \qquad \qquad x+6y-20=0\]

 

Soluzione

Per determinare la posizione della retta rispetto all’ellisse mettiamo a sistema le due equazioni

    \[\begin{cases} 	x^2+4y^2=40\\ 	x+6y-20=0 \end{cases}\]

da cui

    \[\begin{cases} 	(20-6y)^2+4y^2=40\\ 	x=20-6y \end{cases} \quad \Rightarrow \quad  \begin{cases} 	400 + 36y^2 - 240 y+4y^2=40\\ 	x=20-6y \end{cases}\quad \Rightarrow \quad  \begin{cases} y^2 - 6 y+ 9=0\\ x=20-6y \end{cases}\]

Risolviamo l’equazione l’equazione di secondo grado

    \[y^2 - 6 y+ 9=0\]

e osserviamo che (y-3)^2=0 da cui y=3 quindi

    \[\begin{cases} 	y=3\\ 	x=20-18 = 2 \end{cases}\]

quindi la retta è tangente all’ellisse nel punto A(2,3).


Fonte: Matematica.blu 2.0 – Zanichelli