Esercizio. 
Stabilire la posizione della retta rispetto all’ellisse:
Stabilire la posizione della retta rispetto all’ellisse:
![\[4x^2+9y^2=36 \qquad \qquad x-y-7=0\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-116cdbe373e9f3843e477780eba0914b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Soluzione
Per determinare la posizione della retta rispetto all’ellisse mettiamo a sistema le due equazioni
![\[\begin{cases} 4x^2+9y^2=36\\ x-y-7=0 \end{cases}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b3b3a6c98c56a13c43894c8f8faa6397_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
ottenendo
![\[\begin{cases} 4(y+7)^2+9y^2=36\\ x=y+7 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 4(y^2+14y+49)+9y^2=36\\ x=y+7 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 4y^2+56y+196+9y^2=36\\ x=y+7 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 13y^2+56y+160=0\\ x=y+7 \end{cases}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-fb5c0b95896b1a38d880c7dcf6aacebb_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Risolviamo l’equazione l’equazione di secondo grado
![\[13y^2+56y+160=0\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-976df919ed785552e869c7639a19a0fe_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
ma 
quindi non esistono soluzioni reali. Pertanto concludiamo che la retta è esterna.
Fonte: Matematica.blu 2.0 – Zanichelli