Esercizio. 
Trovare per quali valori di 
la seguente equazione rappresenta un’ellisse con i fuochi sull’asse 
:
Trovare per quali valori di la seguente equazione rappresenta un’ellisse con i fuochi sull’asse :
![\[\dfrac{x^2}{1-2k}+\dfrac{y^2}{k+4}=1\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-54ca275ee58cba45389864251e0cc67a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Soluzione
Affinché l’equazione data rappresenti un’ellisse i denominatori devono essere positivi perchè quadrati, inoltre per avere i fuochi sull’asse deve verificarsi che nell’equazione generica
![\[\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9b608f35c0240f47623dcf477a1841f5_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
risulta 
, quindi nel nostro caso
![\[\sqrt{1-2k}> \sqrt{k+4}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-339dcf151d86b64da343303f9d54492e_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Dunque dobbiamo impostare
![\[\begin{cases} 1-2k>0\\ k+4>0\\ \sqrt{1-2k}> \sqrt{k+4} \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} k<\dfrac{1}{2}\\ k>-4\\ 1-2k> k+4 \end{cases}\quad \Rightarrow \quad \begin{cases} k<\dfrac{1}{2}\\ k>-4\\ 3k< -3 \end{cases}\quad \Rightarrow \quad \begin{cases} k<\dfrac{1}{2}\\ k>-4\\ k<-1 \end{cases}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a3022aa8e6169f35a432ccfc0dd13f95_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
da cui
concludendo
![\[\boxed{-4<k<-1}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6760807f89a394d6db13047a5e624a34_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Fonte: Matematica.blu 2.0 – Zanichelli