Equazione di un’ellisse – Esercizio 3

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Esercizio.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Trovare per quali valori di k la seguente equazione rappresenta un’ellisse con i fuochi sull’asse x:

    \[\dfrac{x^2}{1-2k}+\dfrac{y^2}{k+4}=1\]

 

Soluzione

Affinché l’equazione data rappresenti un’ellisse i denominatori devono essere positivi perchè quadrati, inoltre per avere i fuochi sull’asse x deve verificarsi che nell’equazione generica

    \[\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\]

risulta a>b, quindi nel nostro caso

    \[\sqrt{1-2k}> \sqrt{k+4}\]

Dunque dobbiamo impostare

    \[\begin{cases} 1-2k>0\\ k+4>0\\ \sqrt{1-2k}> \sqrt{k+4} \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} 	k<\dfrac{1}{2}\\ 	k>-4\\ 	1-2k> k+4 \end{cases}\quad \Rightarrow \quad \begin{cases} k<\dfrac{1}{2}\\ k>-4\\ 3k< -3 \end{cases}\quad \Rightarrow \quad \begin{cases} k<\dfrac{1}{2}\\ k>-4\\ k<-1 \end{cases}\]

da cui

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concludendo

    \[\boxed{-4<k<-1}\]


Fonte: Matematica.blu 2.0 – Zanichelli