Equazione di ellisse traslata – Esercizio 1

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Esercizio. (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Determinare centro, vertice e fuochi della seguente ellisse traslata:

    \[x^2+4y^2+2x-8y+1=0\]

 

Soluzione

Cerchiamo di scrivere l’equazione data nella forma:

    \[\dfrac{(x-x_c)^2}{a^2} + \dfrac{(y-y_c)^2}{b^2}=1\]

dove C(x_c,y_c) è il centro. Individuiamo i quadrati

    \[x^2 \qquad \mbox{e} \qquad 4y^2\]

e i doppi prodotti, cioè i termini con x e con y

    \[2x \qquad \mbox{e} \qquad -8y\]

Concentriamoci sui termini in x, vogliamo scrivere un quadrato di binomio del tipo

    \[x^2+2x = (x+1)^2-1\]

e sui termini in y

    \[4y^2-8y = 4 (y^2-2y) = 4 (y-1)^2 - 4\]

per cui l’equazione iniziale diventa

    \[{\textcolor{red}{x^2 + 2x}} + {\textcolor{blue}{4y^2 - 8y }} + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad {\textcolor{red}{(x+1)^2-1 }} + {\textcolor{blue}{4 (y-1)^2 - 4}} + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad (x+1)^2-1 + 4(y-1)^2- 4 + 1 = 0\]

quindi

    \[(x+1)^2 + 4(y-1)^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad \boxed{\dfrac{(x+1)^2}{4} + (y-1)^2 = 1}\]

Il centro è dunque

    \[C(-1,1)\]

I semiassi sono a=2 e b=1, quindi i vertici sono

    \[\begin{aligned} & A_1 (x_c + a, y_c) \qquad \qquad A_2 (x_c-a,y_c)\\\\ & B_1 (x_c, y_c + b) \qquad \qquad B_2 (x_c, y_c-b)\\\\ \end{aligned}\]

per cui

    \[\begin{aligned} & A_1 (-1+2, 1) \Rightarrow \boxed{A_1 (1,1)} \qquad \qquad A_2 (-1-2,1) \Rightarrow \boxed{A_2 (-3,1)}\\\\ & B_1 (-1, 1+1) \Rightarrow \boxed{B_1 (-1,2)} \qquad \qquad B_2 (-1, 1-1) \Rightarrow \boxed{B_2 (-1, 0)} \end{aligned}\]

e i fuochi sono dati da

    \[F_1 (x_c + c, y_c) \qquad \qquad A_2 (x_c ,c + y_c)\]

con c = \sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{3} per cui

    \[\boxed{F_1 (\sqrt{3}-1, 1) \qquad \qquad F_2 (-\sqrt{3}-1 ,1)}\]


Fonte: Matematica.blu 2.0 – Zanichelli