Ellisse passante per due punti – Esercizio 1

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Esercizio. (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Qual è l’equazione dell’ellisse passante per i punti

    \[A \left(\sqrt{3}, \dfrac{1}{2}\right) \qquad \mbox{e} \qquad B \left(\-1, \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\]

 

Soluzione

Data l’equazione dell’ellisse

    \[\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\]

impostiamo un sistema imponendo il passaggio per i due punti

    \[\begin{cases} \text{Passaggio per } A \qquad \qquad \dfrac{(\sqrt{3})^2}{a^2}+\dfrac{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2}{b^2}=1\\\\ \text{Passaggio per } B \qquad \qquad \dfrac{1^2}{a^2}+\dfrac{\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}{b^2}=1 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad\begin{cases} \dfrac{3}{a^2}+\dfrac{1}{4b^2}=1\\\\ \dfrac{1}{a^2}+\dfrac{3}{4b^2}=1 \end{cases}\]

Sostituiamo nel sistema

    \[t = \dfrac{1}{a^2} \qquad \mbox{e} \qquad v = \dfrac{1}{b^2}\]

ottenendo

    \[\begin{cases} 3t + \dfrac{v}{4}=1\\\\ t + \dfrac{3v}{4}=1 \end{cases}\]

Procediamo per sostituzione

    \[\begin{cases} 3 \, \left(1 - \dfrac{3v}{4}\right) + \dfrac{v}{4}=1\\\\ t =1 - \dfrac{3v}{4} \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} 3 - \dfrac{9v}{4} + \dfrac{v}{4}=1\\\\ t =1 - \dfrac{3v}{4} \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} 2v =2\\\\ t =1 - \dfrac{3v}{4} \end{cases}\quad \Rightarrow \quad \begin{cases} v=1\\\\ t =1 - \dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{4} \end{cases}\]

per cui

    \[t=\dfrac{1}{4} \qquad \mbox{e} \qquad v=1\]

ovvero

    \[\dfrac{1}{a^2}=\dfrac{1}{4} \qquad \mbox{e} \qquad \dfrac{1}{b^2}=1\]

Quindi l’equazione dell’ellisse è

    \[\underbrace{\dfrac{1}{4}}_{= 1/a^2} \, x^2 + \underbrace{1}_{= 1/b^2} \, y^2 = 1\]

cioè

    \[\boxed{\dfrac{x^2}{4} + y^2 = 1}\]


Fonte: Matematica.blu 2.0 – Zanichelli