Caratteristiche di un’ellisse – Esercizio 1

Ellisse

Home » Caratteristiche di un’ellisse – Esercizio 1

More results...

Generic selectors
Exact matches only
Search in title
Search in content
Post Type Selectors
post
page

Esercizio. (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Riconoscere quale delle seguenti equazioni rappresentano ellissi e, in caso affermativo, scrivile nella forma canonica, determina la misura dei semiassi, le coordinate dei vertici, dei fuochi, l’eccentricità e rappresenta la curva graficamente.

    \[\begin{aligned} & \text{a)} \quad \dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1\\\\ & \text{b)} \quad 4x^2+y^2=9\\\\ & \text{c)} \quad x^2+9y^2-9=0\\\\ & \text{d)} \quad x^2+\dfrac{y^2}{4}=-1 \end{aligned}\]

 

Soluzione

L’equazione canonica dell’ellisse è

    \[\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 \qquad \qquad \mbox{con } \, a,b>0\]

dove a e b sono rispettivamente la misura dei semiassi, c=\sqrt{|a^2-b^2|} è la semidistanza focale da cui i punti

    \[A_1(a, 0), \qquad A_2(-a,0) \qquad \qquad \qquad B_1(0,b), \qquad B_2 (0,-b)\]

sono i vertici, mentre i fuochi sono

    \[\begin{aligned} & F_1(c, 0) \qquad \qquad F_2(-c,0) \qquad \qquad \qquad \mbox{se } a>b\\ & F_1(0,c) \qquad \qquad F_2(0,-c) \qquad \qquad \qquad \mbox{se } a<b \end{aligned}\]

e l’eccentricità è

    \[\begin{aligned} & e=c/a \qquad \qquad \qquad \mbox{se } a>b\\ & e=c/b \qquad \qquad \qquad \mbox{se } a<b \end{aligned}\]

Punto a
Occupiamoci di

    \[\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1\]

con a^2 = 25 e b^2=9 quindi i semiassi sono a=5 e b=3 (a semiasse maggiore, b semiasse minore), quindi i vertici sono

    \[\begin{aligned} & A_1 = (5,0)\\ & A_2 = (-5,0)\\ & B_1 = (0,3)\\ & B_2 = (0,-3) \end{aligned}\]

Calcoliamo la semidistanza focale

    \[c = \sqrt{a^2-b^2} = \sqrt{25-9} = \sqrt{16} = 4\]

ottenendo i fuochi

    \[F_1 (4,0) \qquad \mbox{e} \qquad F_2(-4,0)\]

L’eccentricità è

    \[e =\dfrac{c}{a} = \dfrac{4}{5}\]

Il grafico è

Rendered by QuickLaTeX.com

Punto b
Occupiamoci di

    \[4x^2+y^2=9\]

riportando l’equazione in forma canonica cioè semplificando il termine a membro destro per comparire 1. Per ciò è sufficiente dividere ambo i membri per 9

    \[\dfrac{4x^2}{9}+\dfrac{y^2}{9}=1\]

con a^2 = \dfrac{9}{4} e b^2=9 quindi i semiassi sono a=\dfrac{3}{2} e b=3 (a semiasse minore, b semiasse maggiore), quindi i vertici sono

    \[\begin{aligned} & A_1 = \left(\dfrac{3}{2},0\right)\\ & A_2 = \left(-\dfrac{3}{2},0\right)\\ & B_1 = (0,3)\\ & B_2 = (0,-3) \end{aligned}\]

Calcoliamo la semidistanza focale

    \[c = \sqrt{3^2-\left(\dfrac{3}{2}\right)^2} = \sqrt{9-\dfrac{9}{4}} = \sqrt{\dfrac{36-9}{4}} = \sqrt{\dfrac{25}{4}} = \dfrac{5}{2}\]

ottenendo i fuochi

    \[F_1 \left(0, \dfrac{5}{2}\right) \qquad \mbox{e} \qquad F_2 \left(0, - \dfrac{5}{2}\right)\]

L’eccentricità è

    \[e =\dfrac{c}{b} = \dfrac{5}{2} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{6}\]

Il grafico è

Rendered by QuickLaTeX.com

Punto c
Occupiamoci di

    \[x^2+9y^2-9=0\]

riportando l’equazione in forma canonica:

    \[x^2+9y^2=9 \quad \Rightarrow \quad \dfrac{x^2}{9}+y^2=1\]

con a^2 = 9 e b^2=1 quindi i semiassi sono a=3 e b=1 (a semiasse maggiore, b semiasse minore), quindi i vertici sono

    \[\begin{aligned} & A_1 = \left(3,0\right)\\ & A_2 = \left(-3,0\right)\\ & B_1 = (0,1)\\ & B_2 = (0,-1) \end{aligned}\]

Calcoliamo la semidistanza focale

    \[c = \sqrt{3^2-\left(1\right)^2} = \sqrt{9-\dfrac{9}{4}} = \sqrt{8}\]

ottenendo i fuochi

    \[F_1 \left(\sqrt{8},0\right) \qquad \mbox{e} \qquad F_2 \left(-\sqrt{8}, 0\right)\]

L’eccentricità è

    \[e =\dfrac{c}{a} = \dfrac{\sqrt{8}}{3}\]

Il grafico è

Rendered by QuickLaTeX.com

Punto d
L’equazione

    \[x^2+\dfrac{y^2}{4}=-1\]

non rappresenta un’ellisse poichè a membro destro abbiamo -1 invece di 1.


Fonte: Matematica.blu 2.0 – Zanichelli