Caratteristiche di un’ellisse – Esercizio 1

Ellisse

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Esercizio.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Riconoscere quale delle seguenti equazioni rappresentano ellissi e, in caso affermativo, scrivile nella forma canonica, determina la misura dei semiassi, le coordinate dei vertici, dei fuochi, l’eccentricità e rappresenta la curva graficamente.

    \[\begin{aligned} 				& \text{a)} \quad \dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1\\\\ 				& \text{b)} \quad 4x^2+y^2=9\\\\ 				& \text{c)} \quad x^2+9y^2-9=0\\\\ 				& \text{d)} \quad x^2+\dfrac{y^2}{4}=-1 			\end{aligned}\]

 

Soluzione

L’equazione canonica dell’ellisse è

    \[\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 \qquad \qquad \mbox{con } \, a,b>0\]

dove a e b sono rispettivamente la misura dei semiassi, c=\sqrt{|a^2-b^2|} è la semidistanza focale da cui i punti

    \[A_1(a, 0), \qquad A_2(-a,0) \qquad \qquad \qquad B_1(0,b), \qquad B_2 (0,-b)\]

sono i vertici, mentre i fuochi sono

    \[\begin{aligned} & F_1(c, 0) \qquad  \qquad F_2(-c,0) \qquad \qquad \qquad \mbox{se } a>b\\ & F_1(0,c) \qquad  \qquad F_2(0,-c) \qquad \qquad \qquad \mbox{se } a<b \end{aligned}\]

e l’eccentricità è

    \[\begin{aligned} 	& e=c/a \qquad \qquad \qquad \mbox{se } a>b\\ 	& e=c/b \qquad  \qquad \qquad \mbox{se } a<b \end{aligned}\]

Punto a
Occupiamoci di

    \[\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1\]

con a^2 = 25 e b^2=9 quindi i semiassi sono a=5 e b=3 (a semiasse maggiore, b semiasse minore), quindi i vertici sono

    \[\begin{aligned} & A_1 = (5,0)\\ & A_2 = (-5,0)\\ & B_1 = (0,3)\\ & B_2 = (0,-3) \end{aligned}\]

Calcoliamo la semidistanza focale

    \[c = \sqrt{a^2-b^2} = \sqrt{25-9} = \sqrt{16} = 4\]

ottenendo i fuochi

    \[F_1 (4,0) \qquad \mbox{e} \qquad F_2(-4,0)\]

L’eccentricità è

    \[e =\dfrac{c}{a} = \dfrac{4}{5}\]

Il grafico è

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Punto b
Occupiamoci di

    \[4x^2+y^2=9\]

riportando l’equazione in forma canonica cioè semplificando il termine a membro destro per comparire 1. Per ciò è sufficiente dividere ambo i membri per 9

    \[\dfrac{4x^2}{9}+\dfrac{y^2}{9}=1\]

con a^2 = \dfrac{9}{4} e b^2=9 quindi i semiassi sono a=\dfrac{3}{2} e b=3 (a semiasse minore, b semiasse maggiore), quindi i vertici sono

    \[\begin{aligned} & A_1 = \left(\dfrac{3}{2},0\right)\\ & A_2 = \left(-\dfrac{3}{2},0\right)\\ & B_1 = (0,3)\\ & B_2 = (0,-3) \end{aligned}\]

Calcoliamo la semidistanza focale

    \[c = \sqrt{3^2-\left(\dfrac{3}{2}\right)^2} = \sqrt{9-\dfrac{9}{4}} = \sqrt{\dfrac{36-9}{4}} = \sqrt{\dfrac{25}{4}} = \dfrac{5}{2}\]

ottenendo i fuochi

    \[F_1 \left(0, \dfrac{5}{2}\right) \qquad \mbox{e} \qquad F_2 \left(0, - \dfrac{5}{2}\right)\]

L’eccentricità è

    \[e =\dfrac{c}{b} = \dfrac{5}{2} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{6}\]

Il grafico è

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Punto c
Occupiamoci di

    \[x^2+9y^2-9=0\]

riportando l’equazione in forma canonica:

    \[x^2+9y^2=9 \quad \Rightarrow \quad \dfrac{x^2}{9}+y^2=1\]

con a^2 = 9 e b^2=1 quindi i semiassi sono a=3 e b=1 (a semiasse maggiore, b semiasse minore), quindi i vertici sono

    \[\begin{aligned} & A_1 = \left(3,0\right)\\ & A_2 = \left(-3,0\right)\\ & B_1 = (0,1)\\ & B_2 = (0,-1) \end{aligned}\]

Calcoliamo la semidistanza focale

    \[c = \sqrt{3^2-\left(1\right)^2} = \sqrt{9-\dfrac{9}{4}} = \sqrt{8}\]

ottenendo i fuochi

    \[F_1 \left(\sqrt{8},0\right) \qquad \mbox{e} \qquad F_2 \left(-\sqrt{8}, 0\right)\]

L’eccentricità è

    \[e =\dfrac{c}{a} = \dfrac{\sqrt{8}}{3}\]

Il grafico è

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Punto d
L’equazione

    \[x^2+\dfrac{y^2}{4}=-1\]

non rappresenta un’ellisse poichè a membro destro abbiamo -1 invece di 1.


Fonte: Matematica.blu 2.0 – Zanichelli