Caratteristiche di un’ellisse – Esercizio 1

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Esercizio $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Riconoscere quale delle seguenti equazioni rappresentano ellissi e, in caso affermativo, scrivile nella forma canonica, determina la misura dei semiassi, le coordinate dei vertici, dei fuochi, l’eccentricità e rappresenta la curva graficamente.

$\begin{aligned} & \text{a)} \quad \dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1\\\\ & \text{b)} \quad 4x^2+y^2=9\\\\ & \text{c)} \quad x^2+9y^2-9=0\\\\ & \text{d)} \quad x^2+\dfrac{y^2}{4}=-1 \end{aligned}$

Svolgimento.

L’equazione canonica dell’ellisse è

$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 \qquad \qquad \mbox{con } \, a,b>0$

dove $a$ e $b$ sono rispettivamente la misura dei semiassi, $c=\sqrt{|a^2-b^2|}$ è la semidistanza focale da cui i punti

$A_1(a, 0), \qquad A_2(-a,0) \qquad \qquad \qquad B_1(0,b), \qquad B_2 (0,-b)$

sono i vertici, mentre i fuochi sono

$\begin{aligned} & F_1(c, 0) \qquad \qquad F_2(-c,0) \qquad \qquad \qquad \mbox{se } a>b\\ & F_1(0,c) \qquad \qquad F_2(0,-c) \qquad \qquad \qquad \mbox{se } a<b \end{aligned}$

e l’eccentricità è

$\begin{aligned} & e=c/a \qquad \qquad \qquad \mbox{se } a>b\\ & e=c/b \qquad \qquad \qquad \mbox{se } a<b. \end{aligned}$

Punto a Occupiamoci di

$\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1$

con $a^2 = 25$ e $b^2=9$ quindi i semiassi sono $a=5$ e $b=3$ ( $a$ semiasse maggiore, $b$ semiasse minore), quindi i vertici sono

$\begin{aligned} & A_1 = (5,0)\\ & A_2 = (-5,0)\\ & B_1 = (0,3)\\ & B_2 = (0,-3). \end{aligned}$

Calcoliamo la semidistanza focale

$c = \sqrt{a^2-b^2} = \sqrt{25-9} = \sqrt{16} = 4$

ottenendo i fuochi

$F_1 (4,0) \qquad \mbox{e} \qquad F_2(-4,0)$

L’eccentricità è

$e =\dfrac{c}{a} = \dfrac{4}{5}$

Il grafico è

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Punto b Occupiamoci di

$4x^2+y^2=9$

riportando l’equazione in forma canonica cioè semplificando il termine a membro destro per comparire $1$ . Per ciò è sufficiente dividere ambo i membri per $9$

$\dfrac{4x^2}{9}+\dfrac{y^2}{9}=1$

con $a^2 = \dfrac{9}{4}$ e $b^2=9$ quindi i semiassi sono $a=\dfrac{3}{2}$ e $b=3$ ( $a$ semiasse minore, $b$ semiasse maggiore), quindi i vertici sono