Posizione retta e circonferenza – Esercizio 2

Circonferenza

Home » Posizione retta e circonferenza – Esercizio 2

Esercizio.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Determinare la posizione della retta 3x-2y-6=0 rispetto alla circonferenza x^2+y^2-6x-16y+60=0.

 

Soluzione

Mettiamo a sistema l’equazione della circonferenza con l’equazione della retta

    \[\begin{aligned}  	& \begin{cases} 		x^2+y^2-6x-16y+60=0\\\\ 	 	3x-2y-6=0 	\end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} 	x^2+y^2-6x-16y+60=0\\\\ 	y = \dfrac{3x-6}{2} \end{cases}\quad \Rightarrow \quad\\\\ & \quad \Rightarrow \quad  \begin{cases} x^2+\left( \dfrac{3x-6}{2} \right)^2-6x-16 \; \left( \dfrac{3x-6}{2} \right)+60=0\\\\ y = \dfrac{3x-6}{2} \end{cases} \quad \Rightarrow \quad  \begin{cases} 	x^2 + \dfrac{9x^2-36x+36}{4} -6x-8 \left( 3x-6\right) +60=0\\\\ 	y = \dfrac{3x-6}{2} \end{cases}\quad \Rightarrow \quad\\\\ & \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} x^2 + \dfrac{9x^2-36x+36}{4} -6x-24x +48 +60=0\\\\ y = \dfrac{3x-6}{2} y = \dfrac{3x-6}{2} \end{cases}\quad \Rightarrow \quad \begin{cases} x^2 + \dfrac{9x^2-36x+36}{4} -30x +108=0\\\\ y = \dfrac{3x-6}{2} \end{cases}\quad \Rightarrow \quad \\\\ & \quad \Rightarrow \quad  \begin{cases} 4x^2 + 9x^2-36x+36 -120x +432=0\\\\ y = \dfrac{3x-6}{2} \end{cases}\quad \Rightarrow \quad  \begin{cases} 13x^2 -156x +468=0\\\\ y = \dfrac{3x-6}{2} \end{cases}\quad \Rightarrow \quad  \begin{cases} x^2 -12x +36=0\\\\ y = \dfrac{3x-6}{2} \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \\\\ & \quad \Rightarrow \quad  \begin{cases} (x-6)^2=0\\\\ y = \dfrac{3x-6}{2} \end{cases} \quad \Rightarrow \quad   \begin{cases} x=6\\\\ y = 6 \end{cases} \end{aligned}\]

Quindi la retta risulta tangente alla circonferenza nel punto P(6,6).


Fonte: Matematica.blu 2.0 – Zanichelli