Esercizio Misto 1 – Circonferenza

Circonferenza

Home » Esercizio Misto 1 – Circonferenza
Generic selectors
Exact matches only
Search in title
Search in content
Post Type Selectors
post
page

Esercizio.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Determinare la lunghezza della corda che la circonferenza di equazione x^2+y^2-12x+2y-37=0 stacca sulla retta di equazione y=2x+4.

 

Soluzione

Determiniamo i punti di intersezione fra le circonferenza e la retta per poi farne la distanza (il segmento che unisce i due punti di intersezione è chiamato corda).
Mettiamo a sistema l’equazione della circonferenza con l’equazione della retta

    \[\begin{aligned} & \begin{cases} x^2+y^2-12x+2y-37=0\\ y=2x+4 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} x^2+(2x+4)^2-12x+2 \, (2x+4) -37=0\\ y=2x+4 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad\\\\ & \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} x^2+4x^2+16x+16-12x+4x+8-37=0\\ y=2x+4 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} 5x^2+8x-13=0\\ y=2x+4 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} x= \dfrac{-4\pm 9}{5} \\ y=2x+4 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad\\\\ & \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} x= 1 \\ y=2x+4 \end{cases} \; \vee \; \begin{cases} x=-\dfrac{13}{5}\\ y = 2x+4 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} x= 1 \\ y=6 \end{cases} \quad \vee \quad \begin{cases} x=-\dfrac{13}{5}\\ y = -\dfrac{6}{5} \end{cases} \end{aligned}\]

trovando quindi i punti di intersezione

    \[A(1,6) \quad \mbox{ e } \quad B\left( -\dfrac{13}{5}, -\dfrac{6}{5}\right)\]

Ora facciamo la distanza tra A e B (i calcoli sono fatti volutamente senza calcolatrice per dare motivazione allo studente nel procedere a mente)

    \[\begin{aligned} \overline{AB} & = \sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2} = \sqrt{\left(1+\dfrac{13}{5}\right)^2 + \left(6+\dfrac{6}{5}\right)^2} = \sqrt{\left(\dfrac{18}{5}\right)^2 + \left(\dfrac{36}{5}\right)^2} =\\\\ & = \dfrac{1}{5}\sqrt{18^2+36^2} = \dfrac{1}{5}\sqrt{18^2+(18 \cdot 2)^2} = \dfrac{1}{5}\sqrt{18^2+18^2 \cdot 2^2} =\\\\ & = \dfrac{1}{5}\sqrt{18^2 (1 + 2^2)} = \dfrac{1}{5}\sqrt{18^2} \sqrt{(1 + 2^2)} = \dfrac{18}{5}\sqrt{1+4} = \boxed{\dfrac{18}{5}\sqrt{5}} \end{aligned}\]


Fonte: Matematica.blu 2.0 – Zanichelli