Equazione di una circonferenza – Esercizio 3

Circonferenza

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Esercizio.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Determinare l’equazione della circonferenza avente come estremi del diametro i punti A(-1,4) e (3,6).

 

Soluzione

Il punto medio del segmento che congiunge gli estremi del diametro è il centro della circonferenza, quindi andiamo a trovare le coordinate

    \[x_M = \dfrac{x_A+x_B}{2} = \dfrac{-1+3}{2} = 1\]

e

    \[y_M = \dfrac{y_A+y_B}{2} = \dfrac{4+6}{2} = 5\]

quindi il centro è C(1,5). Il raggio della circonferenza è la semidistanza tra gli estremi del diametro:

    \[R = \dfrac{\overline{AB}}{2} = \dfrac{\sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2}}{2} = \dfrac{\sqrt{(-1-3)^2+(4-6)^2}}{2} = \dfrac{\sqrt{20}}{2} = \sqrt{5}\]

Applichiamo la definizione di circonferenza per trovare l’equazione: la distanza tra un punto generico della circonferenza P(x,y) e il centro C(\alpha,\beta) è pari al raggio R:

(1)   \begin{equation*} 	\overline{PC} = R \quad \Rightarrow \quad (x-\alpha)^2+(y-\beta)^2=R^2 \end{equation*}

da cui

    \[(x-1)^2+(y-5)^2 = (\sqrt{5})^2 \quad \Rightarrow \quad x^2-2x+1+y^2-10y+25=5\quad \Rightarrow \quad \boxed{x^2+y^2-2x-10y+21=0}\]


Fonte: Qui Si Risolve