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Equazione di una circonferenza – Esercizio 2

Circonferenza

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Ottieni il documento contenente 6 esercizi sulla circonferenza in geometria analitica .

 

Esercizio (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Determinare l’equazione della circonferenza concentrica a quella di equazione x^2+y^2-4x+6y-12=0 e con raggio pari alla distanza tra i punti A(1,3) e B(2,1).

Svolgimento.

Applichiamo la definizione di circonferenza: la distanza tra un punto generico della circonferenza P(x,y) e il centro C(\alpha,\beta) è pari al raggio R:

(1) \begin{equation*} \overline{PC} = R \quad \Rightarrow \quad (x-\alpha)^2+(y-\beta)^2=R^2. \end{equation*}

Dobbiamo trovare il centro: la circonferenza cercata è concentrica a quella di equazione x^2+y^2-4x+6y-12=0, quindi ha lo stesso centro di quella data. In generale, data l’equazione di una circonferenza del tipo

\[x^2+y^2+ax+by+c=0\]

il centro C(\alpha,\beta) si trova facendo

\[\alpha = -\dfrac{a}{2} \qquad \mbox{e} \qquad \beta = - \dfrac{\beta}{2}\]

per cui nel nostro caso avendo x^2+y^2-4x+6y-12=0 abbiamo che a=-4 e b=6 da cui risulta

\[\alpha = 2 \qquad \mbox{e} \qquad \beta = -3\]

quindi il centro è C(2,-3). Ora troviamo il raggio sfruttando la formula della distanza tra due punti

\[R = \overline{AB} = \sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2} = \sqrt{(1-2)^2+(3-1)^2} = \sqrt{5}.\]

Applicando (1) troviamo l’equazione cercata

\[(x-2)^2 + (y+3)^2=\sqrt{5}^2 \quad \Rightarrow \quad x^2-4x+4+y^2+6y+9=5 \quad \Rightarrow \quad \boxed{x^2+y^2-4x+6y+8=0}.\]


Fonte: Qui Si Risolve