Composizione di funzioni – Esercizio 1

Funzione inversa e composizione in Funzioni e proprietà

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Esercizio.  (\bigstar\bigstar\largewhitestar) Supponiamo che f(x)=ax+b con a e b numeri reali. Sapendo che

    \[f(f(f(x))) = 8x+21\]

quanto vale

    \[a+b?\]

 

Soluzione

Andiamo a calcolare

    \[\begin{aligned} & f(f(f(x))) = f(f(ax+b)) = a (ax+b) + b = a^2x+ab+b \quad \Rightarrow \quad \\ & \quad \Rightarrow \quad f(a^2x+ab+b ) = a(a^2x+ab+b )+ b = a^3x+a^2b+ab+b \end{aligned}\]

Confrontando con quanto fornito dal testo

    \[a^3x+a^2b+ab+b = 8x + 21\]

abbiamo

    \[\begin{cases} 	a^3 = 8 &\qquad \text{uguaglianza tra coefficienti di x}\\ 	a^2b+ab+b = 21 	&\qquad \text{uguaglianza tra i termini noti} \end{cases}\]

Quindi, con il metodo di sostituzione, otteniamo

    \[\begin{cases} 	a=2 	b=3 \end{cases}\]

e la soluzione del problema è

    \[a+b=2+3=5\]


Fonte: High school math contest, Texas 2009