Composizione di funzioni – Esercizio 1

Funzione inversa e composizione in Funzioni e proprietà

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Esercizio. $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ Supponiamo che $f(x)=ax+b$ con $a$ e $b$ numeri reali. Sapendo che

$f(f(f(x))) = 8x+21$

quanto vale

$a+b?$

Soluzione

Andiamo a calcolare

$\begin{aligned} & f(f(f(x))) = f(f(ax+b)) = a (ax+b) + b = a^2x+ab+b \quad \Rightarrow \quad \\ & \quad \Rightarrow \quad f(a^2x+ab+b ) = a(a^2x+ab+b )+ b = a^3x+a^2b+ab+b \end{aligned}$

Confrontando con quanto fornito dal testo

$a^3x+a^2b+ab+b = 8x + 21$

abbiamo

$\begin{cases} a^3 = 8 &\qquad \text{uguaglianza tra coefficienti di x}\\ a^2b+ab+b = 21 &\qquad \text{uguaglianza tra i termini noti} \end{cases}$

Quindi, con il metodo di sostituzione, otteniamo

$\begin{cases} a=2 b=3 \end{cases}$

e la soluzione del problema è

$a+b=2+3=5$

Fonte: High school math contest, Texas 2009

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