Dinamica – Piano inclinato – Esercizio 2

Dinamica del punto materiale in Fisica scuola superiore

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Esercizio.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)

Una cassa di massa 2.5 kg si trova su un piano liscio inclinato di 20^\circ ed è tenuta in equilibrio da una molla parallela al piano. La molla si allunga di 1.4 cm rispetto alla lunghezza a riposo. Calcola la costante elastica della molla.

Soluzione.
Rappresentiamo il problema con un disegno

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dove \vec{P} è la forza peso, \vec{F}_e è la forza elastica, \vec{N} è la reazione vincolare.
I nostri dati sono l’angolo \alpha=20^\circ, la massa della cassa M = 2.5 kg, l’allungamento della molla \Delta x = 1.4 cm = 0.014 m.\\
Lungo l’asse x abbiamo

    \[-P_x + F_e = 0\]

dove la risultante delle forze, data dalla somma della componente x della forza peso P_x e dalla forza elastica F_e, è uguagliata a zero perchè la cassa è in equilibrio sul piano inclinato, dunque essendo P_x = P \cdot \sin \alpha allora

    \[- P \cdot \sin \alpha + k \, \Delta x = 0\]

da cui possiamo trovare la costante elastica della molla

    \[- P \cdot \sin \alpha + k \, \Delta x = 0 \quad \Leftrightarrow \quad -mg \cdot \sin \alpha + k \, \Delta x = 0 \quad \Leftrightarrow \quad k = \dfrac{mg \, \sin \alpha}{\Delta x}\]

dove abbiamo esplicitato P=mg, quindi

    \[k = \dfrac{mg \, \sin \alpha}{\Delta x} = \dfrac{2.5 \, \text{kg} \, 9.81 \, \text{m/s}^2}{0.014 \, \text{m} } = 600 \, \text{N/m}\]

 


Fonte: Amaldi