Dinamica – Moto parabolico – Esercizio 2

Dinamica del punto materiale in Fisica scuola superiore

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Esercizio.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)


Una palla viene lanciata con una velocità di modulo pari a 7.5 m/s e con un’inclinazione di 60^\circ rispetto al suolo. Calcola la massima altezza che il pallone puo’ raggiungere rispetto al punto di lancio.

Soluzione.
Il problema si può schematizzare come segue

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Dato che il problema tratta il moto parabolico con lancio obliquo sappiamo che lungo l’asse x il moto è uniforme, mentre lungo l’asse y il moto è uniformemente accelerato con accelerazione \vec{g} di modulo pari a g=9.81 m/s^2; in particolare la velocità iniziale ha componente sia orizzontale che verticale

    \[\begin{cases} v_{0x} = v_0 \, \cos 60^\circ\\ v_{0y} = v_0 \, \sin 60^\circ \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad  \begin{cases} v_{0x} = 3.75 \, \text{m/s}\\ v_{0y} = 6.49 \, \text{m/s} \end{cases}\]

e dunque possiamo scrivere

    \[\begin{cases} x = v_{0x} t\\ y = h + v_{0y}t - \dfrac{1}{2}gt^2 \end{cases}\]

Quando l’altezza massima viene raggiunta, la componente verticale della velocità si annulla cioè v_y=0 e quindi dalla formula del moto uniformemente accelerato abbiamo

    \[v_y = v_{0y} -gt \quad \Leftrightarrow \quad 0 =  v_{0y} -gt^\star \quad \Leftrightarrow \quad t^\star = \dfrac{v_{0y}}{g}\]

dove t^\star è il tempo necessario a raggiungere l’altezza massima. Sostituendo nella seconda equazione del sistema scritta per trovare l’altezza massima

    \[h_{max} = v_{0y} t^\star - \dfrac{1}{2}g{t^\star}^2\]

abbiamo

    \[h_{max} = v_{0y} \left(\dfrac{v_{0y}}{g} \right) - \dfrac{1}{2}g \, \left(\dfrac{v_{0y}}{g} \right)^2 \quad \Leftrightarrow \quad h_{max} = \dfrac{v_{0y}^2}{2g}\]

e quindi

    \[h_{max} = \dfrac{v_{0y}^2}{2g} = \dfrac{6.49 \, \text{m/s}}{2 \, 9.81 \, \text{m/s}^2} = 2.15 \, \text{m}\]

 
 


Fonte: Amaldi