Cinematica – Moto verticale – Esercizio 2

Cinematica in Fisica scuola superiore

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Esercizio.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)

Una palla lanciata verticalmente verso l’alto raggiunge la massima altezza dopo 1.3 s dal lancio. In un secondo lancio, la palla raggiunge la metà dell’altezza precedente. Qual è la velocità iniziale nel secondo lancio?

 

Soluzione.
Dati
Tempo del primo lancio t_1 = 1.3 s
Altezza massima secondo lancio h_2 = h_1/2 dove h_1 è l’altezza massima del secondo lancio

Procedimento
In generale l’altezza massima si puo’ ricavare come segue ponendo v=v_0-gt=0

    \[v=0 \quad \Leftrightarrow \quad v_0-gt=0 \quad \Leftrightarrow \quad v_0=gt\]

e sostituendo nella legge oraria

    \[y= y_0 + {\color{red}{v_0}}t - \dfrac{1}{2}gt^2 \quad \Leftrightarrow \quad h_{max} = 0 +{\color{red}{gt}} \cdot t - \dfrac{1}{2}gt^2 = gt^2 - \dfrac{1}{2}gt^2 = \dfrac{1}{2} gt^2\]

dove h_{max} è l’altezza massima. Quindi

    \[\boxed{h_{max} = \dfrac{1}{2}gt^2}\]

\\\\
E’ anche possibile esprimere l’altezza massima in funzione della velocità ricavandosi da prima t = v_0/g e sostituendo

    \[\boxed{h_{max} = \dfrac{v_0^2}{2g}}\]

Torniamo al problema. \\
Nel primo lancio sappiamo che l’altezza massima viene raggiunta dopo un certo tempo quindi possiamo scrivere

    \[h_1 = \dfrac{1}{2}gt_1^2\]

dove t_1 è il tempo necessario per raggiungere l’altezza massima al primo lancio, mentre per il secondo lancio sappiamo che

    \[h_2 = \dfrac{v_{0,2}^2}{2g}\]

dove v_{0,2} è la velocità con cui è stata lanciata la palla nel secondo lancio (ed incognita del nostro problema).\\
Poichè sappiamo che

    \[h_2 = \dfrac{h_1}{2}\]

allora sostituendo le formule otteniamo

    \[\dfrac{v_{0,2}^2}{2g} = \dfrac{\dfrac{1}{2}gt_1^2}{2} \quad \Leftrightarrow \quad \dfrac{v_{0,2}^2}{g} = \dfrac{1}{2}gt_1^2 \quad \Leftrightarrow \quad  v_{0,2}^2 = \dfrac{g^2t_1^2}{2}\]

quindi sostituendo i valori

    \[v_{0,2} = \sqrt{\dfrac{g^2t_1^2}{2}} = \sqrt{\dfrac{9.81^2 \, (\text{m/s}^2)^2 \, (1.3)^2 \, \text{s}^2}{2}} = 9.01 \, \text{ m/s}\]

 


Fonte: Amaldi