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Sistemi di disequazioni esponenziali: esercizi svolti

Esercizi misti su Esponenziali

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Sommario

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Raccolta di esercizi sui sistemi di disequazioni esponenziali.

 
 

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Silvia Lombardi.

Revisori: Luigi De Masi, Daniele Volpe.


 
 

Esercizi

\[\quad\]

Esercizio 1 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Risolvere il seguente sistema di disequazioni:

\[ \begin{cases} 3^{2x - 1} > 3 \\ 1 - 5^{x - 1} \geq 0. \end{cases} \]

Svolgimento.

La prima disequazione

\[ 3^{\,2x-1}>3 \]

si risolve osservando che la funzione esponenziale di base 3>1 è strettamente crescente; pertanto basta confrontare gli esponenti: 2x-1>1, da cui 2x>2 e infine

\[ x>1. \]

La seconda disequazione

\[ 1-5^{\,x+1}\ge0 \]

richiede che 5^{\,x+1}\le1; essendo 5>1, l’esponenziale è anch’essa crescente e ciò equivale a x+1\le0, cioè

\[ x\le-1. \]

Il sistema impone che entrambe le condizioni siano verificate simultaneamente, ma

\[ x>1 \quad\text{e}\quad x\le-1 \]

sono incompatibili: non esiste alcun numero reale che soddisfi nello stesso tempo le due disuguaglianze. Pertanto l’insieme delle soluzioni è vuoto:

\[\boxcolorato{superiori}{S=\emptyset.}\]


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Risolvere il seguente sistema di disequazioni:

\[ \begin{cases} 3^x - 3^{3 - x} + 6 \geq 0 \\ \left|2^x - 1\right| < 3. \end{cases} \]

Svolgimento.

Scriviamo innanzitutto la prima disequazione mettendo in evidenza il termine esponenziale 3^{x}. Se poniamo y = 3^{x}>0 otteniamo

\[ 3^{x}-3^{\,3-x}+6 \;=\; 3^{x}-27\cdot 3^{-x}+6 \;=\; \frac{y^{2}+6y-27}{y}. \]

Il denominatore è positivo, quindi il segno dell’espressione dipende solo dal numeratore y^{2}+6y-27. Quest’ultimo si annulla per y=3 (l’altra radice sarebbe y=-9, fuori dal dominio) e, essendo di concavità verso l’alto, risulta non negativo quando y\ge 3; traducendo in termini di x si trova

\[ 3^{x}\ge 3\iff x\ge 1. \]

Passiamo alla seconda disequazione del sistema:

\[ |\,2^{x}-1\,|<3. \]

Essa equivale alla doppia disuguaglianza

\[ -3 < 2^{x}-1 < 3. \]

Il limite inferiore è automaticamente verificato perché 2^{x}>0; resta pertanto 2^{x}<4, che si traduce in

\[ x<2. \]

Affinché entrambe le disequazioni siano soddisfatte contemporaneamente, x deve appartenere ad entrambi gli intervalli individuati; l’intersezione è

\[\boxcolorato{superiori}{S=[1,2).}\]


 
 

Esercizio 3 (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Risolvere il seguente sistema di disequazioni:

\[ \begin{cases} 5^{2x - 1} - 25 > 0 \\ \frac{3^x + 1}{3^x - 1} \geq 1 \end{cases} \]

Svolgimento.

Consideriamo prima la disuguaglianza

\[ 5^{\,2x-1}-25>0 . \]

Scrivendo 25=5^{2} ed osservando che la funzione esponenziale di base 5>1 è strettamente crescente, basta confrontare gli esponenti:

\[ 2x-1>2 \iff 2x>3 \iff x>\dfrac32 . \]

Passiamo ora alla seconda condizione

\[ \frac{3^{x}+1}{3^{x}-1}\ge 1 . \]

Portando tutto al primo membro otteniamo

\[ \frac{3^{x}+1-(3^{x}-1)}{3^{x}-1}= \frac{2}{3^{x}-1}\ge0 . \]

Il numeratore 2 è positivo; l’espressione quindi è non negativa precisamente quando il denominatore è positivo (e diverso da zero), cioè per

\[ 3^{x}-1>0 \;\Longrightarrow\; x>0 . \]

Il sistema richiede che entrambe le condizioni siano verificate simultaneamente: l’intersezione degli intervalli \left (\dfrac32,+\infty\right ) e (0,+\infty) coincide con il primo dei due. Pertanto l’insieme delle soluzioni è

\[\boxcolorato{superiori}{S=\bigl(\tfrac32,\,+\infty\bigr).}\]


 
 

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