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Esponenziali: esercizi misti svolti

Esercizi misti su Esponenziali

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Sommario

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Esercizi misti sugli esponenziali.

 
 

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Silvia Lombardi.

Revisori: Luigi De Masi, Daniele Volpe.


 
 

Esercizi

\[\quad\]

Esercizio 1 (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Una colonia di batteri cresce secondo una legge esponenziale. Se il numero di batteri raddoppia in 3 ore, dopo quanto tempo il numero di batteri sarà il triplo?

Svolgimento.

La legge di crescita di una colonia di batteri è del tipo

\[N(t) = N_0 e^{kt}\]

dove N(t) indica il numero di batteri all’istante t, N_0 è il numero di batteri al tempo iniziale t=0, k è una costante (se positiva indica una crescita nel tempo, se negativa indica una decrescita nel tempo) e t indica il tempo. Al tempo generico t_0 abbiamo

\[N(t_0) = N_0 e^{kt_0}\]

e dopo tre ore dal tempo t_0 abbiamo

\[N(t_0+3) = N_0 e^{k(t_0+3)}.\]

Da quanto richiesto, cioè che dopo tre ore il numero di batteri raddoppia, imponiamo

\[\begin{aligned} \underbrace{N(t_0+3)}_{\text{\small{Batteri dopo $3$ ore}}} = \underbrace{2N(t_0)}_{\text{\small{Batteri raddoppiati}}} & \quad \Leftrightarrow \quad N_0 e^{k(t_0+3)} = 2 N_0 e^{kt_0} \quad \Leftrightarrow \quad N_0 e^{kt_0} e^{3k} = 2 N_0 e^{kt_0}\\ & \quad \Leftrightarrow \quad \cancel{N_0}\; \cancel{e^{kt_0}} \; e^{3k} = 2 \cancel{N_0}\; \cancel{e^{kt_0}} \quad \Leftrightarrow \quad e^{3k} = 2 \quad \Leftrightarrow \quad\\ &\quad \Leftrightarrow \quad \ln e^{3k} = \ln 2 \quad \Leftrightarrow \quad 3k = \ln 2 \quad \Leftrightarrow \quad k = \dfrac{\ln 2}{3}. \end{aligned}\]

Quindi il numero di batteri sarà triplo quando

\[3N_0 = N_0 e^{kt^\star} \quad \Rightarrow \quad 3\; \cancel{N_0} = \cancel{N_0} \; e^{kt^\star} \quad \Rightarrow \quad kt^\star=\ln 3\]

da cui

\[\boxcolorato{superiori}{t^\star = \dfrac{\ln 3}{k}= \dfrac{\ln 3}{\ln 2} \cdot 3 = \text{4,75} \, \text{h}.}\]


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Il numero di batteri di una colonia cresce esponenzialmente. Alle 14 di ieri il numero di batteri era 1000 e alle 16 era 9000. Quanti batteri ci saranno alle 18?

Svolgimento.

La legge di crescita di una colonia di batteri è del tipo

\[N(t) = N_0 e^{kt}\]

dove N(t) indica il numero di batteri all’istante t, N_0 è il numero di batteri al tempo iniziale t=0, k è una costante (se positiva indica una crescita nel tempo, se negativa indica una decrescita nel tempo) e t indica il tempo.

Abbiamo

\[N(14)=N_0 e^{14k}.\]

Alle ore 16, avremo

\[N(16) = N_0 e^{16k}\]

ma sappiamo anche che

\[N(14) = 1000 \qquad \mbox{e} \qquad N(16) = 9000\]

per cui ponendo a sistema

\[\begin{cases} N_0 e^{14k}=1000\\ N_0 e^{16k}=9000 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} e^{2k} = 9\\ N_0 e^{16k}=9000 \end{cases}\]

da cui

\[\boxcolorato{superiori}{\begin{cases} k = \dfrac{\ln 9}{2} \\\\ N_{18} = 81000. \end{cases} }\]


 
 

Esercizio 3 (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Il tempo di dimezzamento del cobalto radioattivo è di circa 5,27 anni. Se oggi abbiamo 100 grammi di cobalto radioattivo, quanto ne sarà rimasto dopo 10 anni?

Svolgimento.

La legge di decrescita della massa di un elemento radioattivo è del tipo

\[m(t) = m_0 e^{kt},\]

dove m(t) indica la massa dell’elemento al tempo t, m_0 è la massa iniziale, k è una costante (se positiva indica una crescita nel tempo, se negativa indica una decrescita nel tempo) e t indica il tempo. Il tempo di dimezzamento è il tempo necessario perché rimanga soltanto la metà della massa iniziale dell’elemento, quindi sappiamo che

\[m(5,27)=m_0 \; e^{5,27 \, k} \quad \Rightarrow \quad \dfrac{m_0}{2} = m_0 \; e^{\text{5,27} \, k} \quad \Rightarrow \quad k = - \dfrac{\ln 2}{5,27}.\]

Come ci aspettavamo k<0 poiché parliamo di decrescita (la massa sta diminuendo nel tempo). Dunque, avendo trovato la costante, otteniamo

\[m(10) = m_0 \; e^{10 \, k}\]

da cui

\[\boxcolorato{superiori}{m(10) = 100 \, \text{g} \; e^{-10 \, \frac{\ln2}{\text{5,27}}} = \text{26,9} \, \text{g}.}\]


 
 

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