Equazioni esponenziali con logaritmi – esercizi svolti

Esercizi misti su Esponenziali

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Sommario

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Questa dispensa raccoglie alcuni esercizi misti su equazioni esponenziali, risolvibili con l’ausilio dei logaritmi.

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Silvia Lombardi.

Revisori: Luigi De Masi, Daniele Volpe.

Esercizi

Esercizio 1 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Risolvere la seguente equazione nel campo dei numeri reali:

$3^{x+1}+2\cdot3^{\,2-x}=29.$

Svolgimento.

Si ponga $t=3^{x}>0$ ; l’equazione diventa

$3t+\frac{18}{t}=29\;\Longrightarrow\;3t^{2}-29t+18=0.$

Il trinomio si annulla per

$t=\frac{29\pm\sqrt{29^{2}-216}}{6} =\frac{29\pm25}{6} \iff t=9 \,\,\vee \,\, t=\frac{2}{3}.$

Poiché $t=3^{x}$ , da $t=9$ segue $x=2$ e da $t=2/3$ segue $x=\log_{3}\!\bigl(\frac23\bigr)=\log_{3}2-1$ . Entrambi i valori soddisfano l’equazione di partenza.

$\boxcolorato{superiori}{S=\Bigl\{\,2,\;\log_{3}\dfrac23\Bigr\}.}$

Esercizio 2 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Risolvere la seguente equazione nel campo dei numeri reali:

$2^{x}+2^{x+1}+2^{x-1}=15.$

Svolgimento.

Mettiamo in evidenza il termine $2^{x-1}$ :

$2^{x}+2^{x+1}+2^{x-1} =2^{x-1}\bigl(2+4+1\bigr) =2^{x-1}\cdot7 =15.$

Ne segue

$2^{x-1}=\frac{15}{7} \quad\Longrightarrow\quad x-1=\log_{2}\!\Bigl(\frac{15}{7}\Bigr) \quad\Longrightarrow\quad x=1+\log_{2}\!\Bigl(\frac{15}{7}\Bigr).$