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Equazioni esponenziali elementari: esercizi svolti

Equazioni e disequazioni elementari in Esponenziali

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Sommario

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Questo lavoro comprende alcuni esercizi dedicati alle equazioni elementari con gli esponenziali. Si tratta dei primi esercizi che generalmente vengono affrontati dopo aver introdotto gli esponenziali. Gli esercizi sono pensati per studenti delle scuole superiori, per chi desidera ripassare le basi apprese durante il liceo o per chi si sta preparando ai test di ingresso di facoltà scientifiche come ingegneria, fisica o matematica.

 
 

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Silvia Lombardi.

Revisori: Luigi De Masi, Daniele Volpe.


 
 

Esercizi

\[\quad\]

Esercizio 1 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Risolvere la seguente equazione:

\[3^{2x+3}=\frac13 .\]

Svolgimento.

Il membro destro, \frac{1}{3}, può essere scritto come 3^{-1}. L’equazione diventa pertanto

\[\displaystyle 3^{2x+3}=3^{-1}. \]

Poiché le basi sono uguali (e 3 > 1, garantendo l’iniettività della funzione esponenziale f(t) = 3^t), uguagliamo gli esponenti:

\[2x + 3 = -1.\]

Risolvendo questa equazione lineare: 2x = -4 \iff x = -2. La soluzione è

\[\boxcolorato{superiori}{x = -2. }\]


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Risolvere la seguente equazione:

\[3^{3x}=\frac1{27}. \]

Svolgimento.

Poiché 27=3^{3}, il membro destro si può riscrivere come 3^{-3} e pertanto l’equazione diventa

\[3^{3x} = 3^{-3}.\]

Poiché le basi sono uguali (e 3 > 1, garantendo l’iniettività della funzione esponenziale f(t) = 3^t), uguagliamo gli esponenti: 3x=-3, quindi

\[\boxcolorato{superiori}{x=-1. }\]


 
 

Esercizio 3 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Risolvere la seguente equazione:

\[\left(\frac73\right)^{-2x}=\frac9{49} .\]

Svolgimento.

Osserviamo che \frac{9}{49}=(\frac{7}{3})^{-2}, da cui otteniamo l’equazione

\[\displaystyle \left(\frac73\right)^{-2x}=\left(\frac7{3}\right)^{-2}. \]

Poiché le basi sono uguali (e \frac{7}{3} > 1, garantendo l’iniettività della funzione esponenziale f(t) = \left(\frac{7}{3}\right)^t), uguagliamo gli esponenti: -2x=-2 da cui

\[\boxcolorato{superiori}{x=1. }\]


 
 

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