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Disequazioni esponenziali elementari: esercizi svolti

Equazioni e disequazioni elementari in Esponenziali

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Sommario

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Questo lavoro comprende alcuni esercizi dedicati alle disequazioni elementari con gli esponenziali. Si tratta dei primi esercizi che generalmente vengono affrontati dopo aver introdotto gli esponenziali. Gli esercizi sono pensati per studenti delle scuole superiori, per chi desidera ripassare le basi apprese durante il liceo o per chi si sta preparando ai test di ingresso di facoltà scientifiche come ingegneria, fisica o matematica.

 
 

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Silvia Lombardi.

Revisori: Luigi De Masi, Daniele Volpe.


 
 

Esercizi

\[\quad\]

Esercizio 1 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Risolvere la seguente disequazione esponenziale:

\[\left (\frac{1}{10} \right )^x<100.\]

Svolgimento.

Si tratta di una disequazione esponenziale elementare. Scriviamo membro destro e membro sinistro come potenze aventi stessa base:

\[10^{-x}<10^2 \iff -x<2\]

da cui

\[\boxcolorato{superiori}{x>-2.}\]

Osserviamo che passando alla disuguaglianza tra gli esponenti abbiamo mantenuto lo stesso segno di disuguaglianza poiché la base della potenza, essendo 10, è maggiore di 1.


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Risolvere la seguente disequazione esponenziale:

\[7^{x+2}>49.\]

Svolgimento.

Si tratta di una disequazione esponenziale elementare. Scriviamo membro destro e membro sinistro come potenze aventi stessa base:

\[7^{x+2}>7^2 \iff x+2>2\]

da cui

\[\boxcolorato{superiori}{x>0.}\]

Osserviamo che passando alla disuguaglianza tra gli esponenti abbiamo mantenuto lo stesso segno di disuguaglianza poiché la base della potenza, essendo 7, è maggiore di 1.


 
 

Esercizio 3 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Risolvere la seguente disequazione esponenziale:

\[\left(\dfrac{1}{5}\right)^{2x+1} < 625.\]

Svolgimento.

Si tratta di una disequazione esponenziale elementare. Scriviamo membro destro e membro sinistro come potenze aventi stessa base:

\[\left(\dfrac{1}{5}\right)^{2x+1} < 5^4 \iff \left(\dfrac{1}{5}\right)^{2x+1} < \left(\dfrac{1}{5}\right)^{-4} \iff 2x+1>-4\]

da cui

\[\boxcolorato{superiori}{x>-\dfrac{5}{2}.}\]

Osserviamo che passando alla disuguaglianza tra gli esponenti abbiamo invertito il segno di disuguaglianza poiché la base della potenza, essendo 1/5, è minore di 1.


 
 

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