Esercizio. 
Risolvere la seguente disequazione esponenziale
Risolvere la seguente disequazione esponenziale
![\[2^{x+5} \cdot 3^{x+2} \le 8 \cdot 6^{\frac{3x-1}{x}}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-aea4705be169912c2f5ee7a8f4f9fee3_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Soluzione
Si tratta di una disequazione esponenziale elementare. Scriviamo membro destro e membro sinistro come potenze aventi stessa base:
![\[\begin{aligned} & 2^{x+5} \cdot 3^{x+2} \le 8 \cdot 6^{\frac{3x-1}{x}} \quad \Rightarrow \quad 2^x \cdot 2^5 \cdot 3^x \cdot 3^2 \le 8 \cdot 6^{\frac{3x-1}{x}} \quad \Rightarrow \quad \\\\ & \quad \Rightarrow \quad 6^x \cdot 32 \cdot 9 \le 8 \cdot 6^{\frac{3x-1}{x}} \quad \Rightarrow \quad \dfrac{6^x}{6^{\frac{3x-1}{x}}} \le \dfrac{1}{36} \quad \Rightarrow \quad\\\\ & \quad \Rightarrow \quad 6^{x - \frac{3x-1}{x}} \le 6^{-2} \end{aligned}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ea77e2ddbcdf35c2229b461c86a75979_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Osserviamo che passando alla disuguaglianza tra gli esponenti dobbiamo mantenere il segno di disuguaglianza poiché la base della potenza, essendo 
, è maggiore di 
:
![\[x - \dfrac{3x-1}{x} \le -2 \quad \Rightarrow \quad \dfrac{x^2-x+1}{x}\le0\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8f7a4de15d640c0956c68f11fb52add6_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Essendo una disequazione fratta andiamo a studiare numeratore e denominatore:
![\[\begin{aligned} & N(x)\ge 0 \quad \Rightarrow \quad x^2-x+1\ge0 \qquad \forall \, x \in \mathbb{R}\\ & D(x) > 0 \quad \Rightarrow \quad x>0 \end{aligned}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6e42ae1699844d6c8148dd808558fec7_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Con una semplice regola dei segni otteniamo
![\[\boxed{x<0}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ac311dfb00011692ebb40450867ed973_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Fonte: Matematica.verde 3 – Zanichelli