Disequazione esponenziale elementare – Esercizio 5

Equazioni e disequazioni elementari in Esponenziali

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Esercizio. (\bigstar\bigstar\largewhitestar) Risolvere la seguente disequazione esponenziale

    \[2^{x+5} \cdot 3^{x+2} \le 8 \cdot 6^{\frac{3x-1}{x}}\]

 

Soluzione

Si tratta di una disequazione esponenziale elementare. Scriviamo membro destro e membro sinistro come potenze aventi stessa base:

    \[\begin{aligned} & 2^{x+5} \cdot 3^{x+2} \le 8 \cdot 6^{\frac{3x-1}{x}} \quad \Rightarrow \quad 2^x \cdot 2^5 \cdot 3^x \cdot 3^2 \le 8 \cdot 6^{\frac{3x-1}{x}} \quad \Rightarrow \quad \\\\ & \quad \Rightarrow \quad 6^x \cdot 32 \cdot 9 \le 8 \cdot 6^{\frac{3x-1}{x}} \quad \Rightarrow \quad \dfrac{6^x}{6^{\frac{3x-1}{x}}} \le \dfrac{1}{36} \quad \Rightarrow \quad\\\\ & \quad \Rightarrow \quad 6^{x - \frac{3x-1}{x}} \le 6^{-2} \end{aligned}\]

Osserviamo che passando alla disuguaglianza tra gli esponenti dobbiamo mantenere il segno di disuguaglianza poiché la base della potenza, essendo 6, è maggiore di 1:

    \[x - \dfrac{3x-1}{x} \le -2 \quad \Rightarrow \quad \dfrac{x^2-x+1}{x}\le0\]

Essendo una disequazione fratta andiamo a studiare numeratore e denominatore:

    \[\begin{aligned} & N(x)\ge 0 \quad \Rightarrow \quad x^2-x+1\ge0 \qquad \forall \, x \in \mathbb{R}\\ & D(x) > 0 \quad \Rightarrow \quad x>0 \end{aligned}\]

Con una semplice regola dei segni otteniamo

    \[\boxed{x<0}\]


Fonte: Matematica.verde 3 – Zanichelli