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Equazioni esponenziali con variabile ausiliaria

Equazioni e disequazioni con variabile ausiliaria in Esponenziali

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Sommario

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Questo file contiene 4 esercizi svolti sulle equazioni esponenziali con l’uso della variabile ausiliaria. Gli esercizi sono pensati per studenti del liceo, appassionati di matematica o per chi si sta preparando ai test di ingresso di facoltà scientifiche come ingegneria, fisica o matematica.

 
 

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Silvia Lombardi.

Revisori: Luigi De Masi, Daniele Volpe.


 
 

Esercizi

\[\quad\]

Esercizio 1 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Risolvere la seguente equazione esponenziale:

\[4^x = 2^x-2.\]

Svolgimento.

Si tratta di un’equazione esponenziale risolubile con incognita ausiliaria. Portiamo tutti i termini a membro sinistro

\[4^x = 2^x-2 \quad \Rightarrow \quad 4^x - 2^x + 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad 2^{2x} - 2^x + 2 = 0\]

e poniamo t=2^x per cui

\[t^2-t+2=0\]

con \Delta <0 quindi non esistono t reali, pertanto non esistono nemmeno x reali. Quindi l’equazione è impossibile.


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Risolvere la seguente equazione esponenziale:

\[9^x-3=2\cdot3^x.\]

Svolgimento.

Si tratta di un’equazione esponenziale risolubile con incognita ausiliaria. Portiamo tutti i termini a membro sinistro

\[9^x-3=2\cdot3^x \quad \Rightarrow \quad 9^x - 2\cdot 3^x - 3 = 0\quad \Rightarrow \quad 3^{2x} - 2\cdot 3^x -3 = 0\]

e poniamo t=3^x per cui

\[t^2-2t-3=0 \quad \Rightarrow \quad t = 1 \pm \sqrt{4} = 1 \pm 2\]

da cui

\[t = -1 \quad \vee \quad t = 3 \quad \Rightarrow \quad 3^x=-1 \quad \vee \quad 3^x = 3.\]

Essendo 3^x=-1 impossibile poiché una potenza è sempre positiva, l’unica soluzione è data da

\[3^x=3 \quad\]

da cui

\[\boxcolorato{superiori}{x=1.}\]


 
 

Esercizio 3 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Risolvere la seguente equazione esponenziale:

\[10^x+10^{2-x}=101.\]

Svolgimento.

Si tratta di un’equazione esponenziale risolubile con incognita ausiliare. Portiamo tutti i termini a membro sinistro

\[10^x+10^{2-x}=101 \quad \Rightarrow \quad 10^x+\dfrac{10^{2}}{10^x}-101=0 \quad \Rightarrow \quad 10^x+\dfrac{100}{10^x}-101=0.\]

Per semplicità conviene porre già t=10^x ottenendo

\[10^x+\dfrac{100}{10^x}-101=0 \quad \Rightarrow \quad t + \dfrac{100}{t}-101=0 \quad \Rightarrow \quad \dfrac{t^2+100-101t}{t}=0.\]

Dato che il denominatore è t=10^x, quindi positivo, si può semplificare senza aggiungere condizioni di esistenza, ottenendo

\[t^2-101t+100=0.\]

Risolvendo l’equazione di secondo grado abbiamo

\[t = \dfrac{101 \pm \sqrt{101^2 - 400}}{2} = \dfrac{101\pm99}{2}\]

da cui

\[t = 1 \quad \vee \quad t =100\]

e tornando alla variabile x

\[10^x = 1 \quad \vee \quad 10^x = 100\]

da cui

\[\boxcolorato{superiori}{x=0 \quad \vee \quad x=2.}\]


 
 

Esercizio 4 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Risolvere la seguente equazione esponenziale:

\[\dfrac{4}{2^x-1}+\dfrac{3}{2^x+1}=5.\]

Svolgimento.

Si tratta di un’equazione esponenziale risolubile con incognita ausiliare. Per semplicità dei calcoli, conviene già sostituire t = 2^x ottenendo

\[\dfrac{4}{2^x-1}+\dfrac{3}{2^x+1}=5 \quad \Rightarrow \quad \dfrac{4}{t-1}+\dfrac{3}{t+1}=5.\]

Facendo i calcoli otteniamo

\[\dfrac{4(t+1)+3(t-1)}{(t-1)(t+1)} = \dfrac{5(t-1)(t+1)}{(t-1)(t+1)} \quad \Rightarrow \quad \dfrac{7t+1}{(t-1)(t+1)} = \dfrac{5(t^2-1)}{(t-1)(t+1)}.\]

Le condizioni di esistenza sono date da

\[t-1 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad t \neq 1 \quad \Rightarrow \quad 2^x \neq 1 \quad \Rightarrow \quad x \neq 0\]

mentre t+1 \neq 0 per ogni t reale poiché è la somma di due termini positivi. Con la condizione x\neq0 abbiamo

\[7t+1=5t^2-5\]

da cui

\[5t^2-7t-6=0.\]

Risolviamo l’equazione di secondo grado

\[t = \dfrac{7\pm \sqrt{49 + 120 }}{10} = \dfrac{7\pm 13}{10}\]

ottenendo

\[t=2 \qquad \vee \qquad t = - \dfrac{3}{5}.\]

Dato che t = - \frac{3}{5} è impossibile poiché t è sempre positivo essendo definito come esponenziale, abbiamo solo

\[t=2 \quad \Rightarrow \quad 2^x=2\]

da cui

\[\boxcolorato{superiori}{x=1.}\]

accettabile poiché x \neq 0.


 
 

Esercizio 5 (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Risolvere l’equazione

\[3 \cdot 4^x + 2 \cdot 9^x = 6^{x+1}.\]

Svolgimento.

Il dominio dell’equazione coincide con l’insieme dei numeri reali. Dividendo tutto per 6^x e ponendo (2/3)^x = t, si ha un’equazione di secondo grado in t, di cui verranno scelte solo le soluzioni positive:

\[ 3t + \frac{2}{t} = 6 \iff 3t^2 - 6t + 2 = 0 \iff t_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{6} = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}. \]

Pertanto:

\[\boxcolorato{superiori}{x_{1,2} = \log_{2/3}\left(1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}\right). }\]


 
 

Esercizio 6 (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Risolvere l’equazione

\[9^x - 6^x + 4^x = \frac{8^x}{3^x}.\]

Svolgimento.

Il dominio dell’equazione coincide con l’insieme dei numeri reali. Dividendo tutto per 6^x e ponendo (3/2)^x = t, si ha un’equazione di terzo grado, di cui verranno scelte solo le soluzioni positive:

\[ t - 1 + \frac{1}{t} = \frac{1}{t^2} \iff t^3 - t^2 + t - 1 = 0 \iff (t^2 + 1)(t - 1) = 0 \iff t = 1 \iff x = 0. \]

La soluzione è quindi

\[\boxcolorato{superiori}{x=0. }\]


 
 

Esercizio 7 (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Quante soluzioni reali ha la seguente equazione?

\[8^x+4 = 4^x + 2^{x+2}.\]

Svolgimento.

Sfruttando le proprietà delle potenze, possiamo riscrivere equivalentemente l’equazione in questo modo:

\[ \begin{gathered} 2^{3x} + 4 = 2^{2x} + 4\cdot2^x; \\ 2^{3x} - 2^{2x} - 4\cdot2^x + 4 = 0. \end{gathered}\]

Ponendo 2^x = t:

\[ \begin{gathered} t^3 - t^2 - 4t + 4 = 0; \\ t^2(t-1) - 4(t-1) = 0; \\ (t-1)(t^2-4) = 0; \\ (t-1)(t-2)(t+2) = 0. \end{gathered} \]

Dunque ci sono tre possibili soluzioni t = 1, t = 2, t = -2, ma quest’ultima non è accettabile perché t = 2^x > 0. Le due restanti possibilità per t corrispondono a due soluzioni per x. La risposta è quindi

\[\boxcolorato{superiori}{\text{2 soluzioni reali.}}\]


 
 

Esercizio 8 (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Per quali valori del parametro k l’equazione

\[9^x - 3^{x+1} = k\]

ha soluzioni reali?

Svolgimento.

Possiamo riscrivere l’equazione assegnata nel modo seguente, seguendo l’idea di completare il quadrato di un binomio:

\[ \begin{gathered} 3^{2x} - 3\cdot3^{x} = k; \\ \left(3^x\right)^2 - 2\cdot\frac{3}{2}\cdot3^x + \frac{9}{4} = k + \frac{9}{4};\\ \left(3^x-\frac{3}{2}\right)^2 = k + \frac{9}{4}. \end{gathered} \]

Dato che il membra di sinistra non è mai negativo, condizione necessaria affinch\’e questa equazione abbia soluzione è che:

\[k \geq -\frac{9}{4}.\]

Se questa condizione viene rispettata, si ha:

\[3^x = \frac{3}{2} \pm \sqrt{k+\frac{9}{4}}.\]

Prendendo il segno +, il membro di destra è sicuramente positivo per k \geq -9/4, per cui esiste sicuramente almeno una soluzione per x. La risposta è dunque

\[\boxcolorato{superiori}{k \geq - \frac{9}{4}.}\]


 
 

Esercizio 9 (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Risolvere la seguente equazione:

\[\displaystyle 4^{x}+2^{x}-2=0 .\]

Svolgimento.

Effettuiamo un cambio variabili t \coloneq 2^{x}>0, da cui si ha 4^{x}=t^{2} e l’equazione diventa

\[t^{2}+t-2=0.\]

Risolvendo tale equazione di secondo grado, otteniamo

\[t= 1 \; \text{o}\; t=-2 \iff 2^x = 1\; \text{o} \; t=-2.\]

Poiché 2^x>0, la seconda soluzione è da scartare, mentre da 2^{x}=1 segue

\[\boxcolorato{superiori}{x=0. }\]


 
 

Esercizio 10 (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Risolvere la seguente equazione:

\[4^{x}-6\cdot2^{x}-16=0 .\]

Svolgimento.

Effettuiamo un cambio di variabili t\coloneq 2^{x}>0, da cui otteniamo

\[t^{2}-6t-16=0.\]

Risolvendo tale equazione si ha

\[t= 8 \; \text{o} \; t= -2 \iff 2^x = 8 \; \text{o} \;2^x = -2.\]

Poiché 2^x >0, la seconda soluzione è da scartare, mentre da 2^{x}=8=2^{3} segue

\[\boxcolorato{superiori}{x=3. }\]


 
 

Esercizio 11 (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Risolvere la seguente equazione:

\[9^{x}-2\cdot3^{x}+1=0 .\]

Svolgimento.

Effettuiamo un cambio di variabili t\coloneq 3^{x}>0, {da cui si ottiene}

\[t^{2}-2t+1=0.\]

Risolvendo tale equazione si ha

\[(t-1)^{2}=0\iff t=1 \iff3^{x}=1,\]

da cui

\[\boxcolorato{superiori}{x=0. }\]


 
 

Esercizio 12 (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Risolvere la seguente equazione:

\[ \left(\frac12\right)^{2x}-5\left(\frac12\right)^{x}+4=0 .\]

Svolgimento.

Effettuiamo il cambio di variabili t\coloneq 2^{-x}>0, da cui si ottiene

\[t^{2}-5t+4=0.\]

Risolvendo tale equazione si ha

\[t=1 \; \text{o} \; t = 4 \iff 2^{-x} = 1 \; \text{o} \; 2^{-x} = 4 \iff -x = 0 \; \text{o} \; -x = 2,\]

da cui

\[\boxcolorato{superiori}{x= 0 \quad \text{oppure} \quad x=-2. }\]


 
 

Esercizio 13 (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Risolvere la seguente equazione:

\[25^{x}-2\cdot5^{x+1}+25=0 .\]

Svolgimento.

Effettuando il cambio di variabili t\coloneq 5^{x}>0 abbiamo

\[t^{2}-10t+25=0.\]

Risolvendo tale equazione si ha

\[(t-5)^{2}=0 \iff t=5 \iff 5^x = 5,\]

ovvero

\[\boxcolorato{superiori}{x=1. }\]


 
 

Esercizio 14 (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Risolvere la seguente equazione:

\[2^{x+3}+4^{x+1}=320 .\]

Svolgimento.

Osserviamo che 4^{x+1}=2^{2x+2} quindi l’equazione si riscrive come

\[2^{x+3}+2^{2x+2}=320.\]

Effettuando il cambio di variabili t\coloneq 2^{x} si trova

\[8t+4t^{2}-320=0\iff t^{2}+2t-80=0.\]

Risolvendo l’equazione si ha

\[t= 8 \; \text{o} \; t= -10 \iff 2^x = 8 \; \text{o} \; 2^x = -10.\]

Dall’unica soluzione positiva otteniamo dunque 2^x = 2^3, da cui

\[\boxcolorato{superiori}{x=3. }\]


 
 

Esercizio 15 (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Risolvere la seguente equazione:

\[ 3^{x+2}+3^{2-x}=82 .\]

Svolgimento.

Osserviamo che 3^{2-x}=9\cdot3^{-x}. Posto t\coloneq 3^{x}>0 si trova

\[9t+9/t=82\iff9t^{2}-82t+9=0.\]

Risolvendo l’equazione si ha

\[t=9 \; \text{o} \; t=\frac{1}{9} \iff 3^x = 9 \; \text{o} \; 3^x = \frac{1}{9} \iff 3^x = 3^2 \; \text{o} \; 3^x = 3^{-2},\]

che conduce alle soluzioni

\[\boxcolorato{superiori}{x=2 \quad \text{oppure} \quad x=-2. }\]


 
 

Esercizio 16 (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Risolvere la seguente equazione:

\[4^{x-1}-3\cdot2^{x-1}-4=0. \]

Svolgimento.

Effettuaimo il cambio di variabili t\coloneq 2^{x-1}>0, da cui si trova

\[t^{2}-3t-4=0\iff(t-4)(t+1)=0.\]

Le soluzioni dell’equazione sono

\[t= 4 \; \text{o}\; t = -1 \iff 2^{x-1} = 4\; \text{o}\; 2^{x-1}=1.\]

Dall’unica radice positiva si ha quindi

\[2^{x-1}=4=2^{2}\iff x-1=2,\]

dunque

\[\boxcolorato{superiori}{x=3. }\]


 
 

Esercizio 17 (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Risolvere la seguente equazione:

\[\left(\frac14\right)^{x+1}-5\left(\frac12\right)^{x+1}+4=0 .\]

Svolgimento.

Con il cambio di variabili t\coloneq 2^{-(x+1)}>0 otteniamo

\[t^{2}-5t+4=0,\]

le cui soluzioni sono

\[t= 1 \; \text{o}\; t= 4 \iff 2^{-(x+1)} = 1\; \text{o}\; 2^{-(x+1)}=4 \iff x+1 = 0 \; \text{o}\; -x-1 = 2,\]

che produce

\[\boxcolorato{superiori}{x=-1 \quad \text{oppure}\quad x=-3. }\]


 
 

Esercizio 18 (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Risolvere la seguente equazione:

\[4^{x}+2^{x+1}+\frac{11}{7}=2^{x}+1 .\]

Svolgimento.

Sostituendo t\coloneq 2^{x} si ottiene l’equazione quadratica

\[t^{2}+t+\frac47=0,\]

il cui discriminante è negativo, dunque non esiste nessuna soluzione reale.


 
 

Esercizio 19 (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Risolvere la seguente equazione:

\[ \left(\frac12\right)^{-x}=10^{x}-2^{x+1}. \]

Svolgimento.

Ponendo t=2^{x}>0 abbiamo t=5^{x}t-2t\iff5^{x}=3\iff x=\log_{5}3. La soluzione è dunque

\[\boxcolorato{superiori}{x=\log_5 3. }\]


 
 

Esercizio 20 (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Risolvere la seguente equazione:

\[3^{x+1}+3^{x-1}=2\cdot5^{2-x}. \]

Svolgimento.

Moltiplicando per 3 entrambi i membri si ottiene:

\[3^{x+2}+3^{x}=6\cdot5^{2-x}.\]

Con il cambio di variabili t\coloneqq 3^{x} si ottiene

\[3t^{2}+t-150=0,\]

la cui unica radice positiva è t=5, dunque

\[\boxcolorato{superiori}{x=\log_{3}5. }\]