Equazione esponenziale con incognita ausiliaria – Esercizio 4

Equazioni e disequazioni con variabile ausiliaria in Esponenziali

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Esercizio.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Risolvere la seguente equazione esponenziale

    \[\dfrac{4}{2^x-1}+\dfrac{3}{2^x+1}=5\]

 

Soluzione

Si tratta di un’equazione esponenziale risolubile con incognita ausiliare. Per semplicità dei calcoli, conviene già sostituire t = 2^x ottenendo

    \[\dfrac{4}{2^x-1}+\dfrac{3}{2^x+1}=5 \quad \Rightarrow \quad \dfrac{4}{t-1}+\dfrac{3}{t+1}=5\]

Facendo i calcoli otteniamo

    \[\dfrac{4(t+1)+3(t-1)}{(t-1)(t+1)} = \dfrac{5(t-1)(t+1)}{(t-1)(t+1)} \quad \Rightarrow \quad \dfrac{7t+1}{(t-1)(t+1)} = \dfrac{5(t^2-1)}{(t-1)(t+1)}\]

Le condizioni di esistenza sono date da

    \[t-1 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad t \neq 1 \quad \Rightarrow \quad 2^x \neq 1 \quad \Rightarrow \quad x \neq 0\]

mentre t+1 \neq 0 per ogni t reale poiché è la somma di due termini positivi.
Con la condizione x\neq0 abbiamo

    \[7t+1=5t^2-5\]

da cui

    \[5t^2-7t-6=0\]

Risolviamo l’equazione di secondo grado

    \[t = \dfrac{7\pm \sqrt{49 + 120 }}{10} = \dfrac{7\pm 13}{10}\]

ottenendo

    \[t=2 \qquad \vee \qquad t = - \dfrac{3}{5}\]

Dato che t = - \frac{3}{5} è impossibile poiché t è sempre positivo essendo definito come esponenziale, abbiamo solo

    \[t=2 \quad \Rightarrow \quad 2^x=2 \quad \Rightarrow \quad \boxed{x=1}\]

accettabile poiché x \neq 0.


Fonte: Matematica.verde 3 – Zanichelli