Equazione esponenziale con incognita ausiliaria – Esercizio 3

Equazioni e disequazioni con variabile ausiliaria in Esponenziali

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Esercizio.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Risolvere la seguente equazione esponenziale

    \[10^x+10^{2-x}=101\]

 

Soluzione

Si tratta di un’equazione esponenziale risolubile con incognita ausiliare. Portiamo tutti i termini a membro sinistro

    \[10^x+10^{2-x}=101 \quad \Rightarrow \quad 10^x+\dfrac{10^{2}}{10^x}-101=0 \quad \Rightarrow \quad 10^x+\dfrac{100}{10^x}-101=0\]

Per semplicità conviene porre già t=10^x ottenendo

    \[10^x+\dfrac{100}{10^x}-101=0 \quad \Rightarrow \quad t + \dfrac{100}{t}-101=0 \quad \Rightarrow \quad \dfrac{t^2+100-101t}{t}=0\]

Dato che il denominatore è t=10^x, quindi positivo, si può semplificare senza aggiungere condizioni di esistenza, ottenendo

    \[t^2-101t+100=0\]

Risolvendo l’equazione di secondo grado abbiamo

    \[t = \dfrac{101 \pm \sqrt{101^2 - 400}}{2} = \dfrac{101\pm99}{2}\]

da cui

    \[t = 1 \quad \vee \quad t =100\]

e tornando alla variabile x

    \[10^x = 1 \quad \vee \quad 10^x = 100 \quad \Rightarrow \quad \boxed{x=0 \quad \vee \quad x=2}\]


Fonte: Matematica.verde 3 – Zanichelli