Equazione esponenziale con incognita ausiliaria – Esercizio 2

Equazioni e disequazioni con variabile ausiliaria in Esponenziali

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Esercizio.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Risolvere la seguente equazione esponenziale

    \[9^x-3=2\cdot3^x\]

 

Soluzione

Si tratta di un’equazione esponenziale risolubile con incognita ausiliaria. Portiamo tutti i termini a membro sinistro

    \[9^x-3=2\cdot3^x \quad \Rightarrow \quad 9^x - 2\cdot 3^x - 3 = 0\quad \Rightarrow \quad 3^{2x} - 2\cdot 3^x -3 = 0\]

e poniamo t=3^x per cui

    \[t^2-2t-3=0 \quad \Rightarrow \quad t = 1 \pm \sqrt{4} = 1 \pm 2\]

da cui

    \[t = -1 \quad \vee \quad t = 3 \quad \Rightarrow \quad 3^x=-1 \quad \vee \quad 3^x = 3\]

Essendo 3^x=-1 impossibile poiché una potenza è sempre positiva, l’unica soluzione è data da

    \[3^x=3 \quad \Rightarrow \quad \boxed{x=1}\]


Fonte: Matematica.verde 3 – Zanichelli