Disequazioni esponenziali con variabile ausiliaria: esercizi svolti

Equazioni e disequazioni con variabile ausiliaria in Esponenziali

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Sommario

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Esercizi sulle disequazioni esponenziali risolte mediante l’uso di una variabile ausiliaria.

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Silvia Lombardi.

Revisori: Luigi De Masi, Daniele Volpe.

Esercizi

$\quad$

Esercizio 1 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Risolvere la seguente disequazione fratta con esponenziali:

$\frac{4^{5x + 8} + 12}{4^{x + 5} - 2} < 0.$

Svolgimento.

Poiché il numeratore è strettamente positivo per ogni $x \in \mathbb{R}$ in quanto somma di un numero positivo e di un esponenziale, anch’esso positivo, la disequazione è verificata se e solo se il denominatore è negativo, ovvero se e solo se

$4^{x+5}< 2=4^{\frac{1}{2}} \iff x+5 < \frac{1}{2} \iff x< -\frac{9}{2}.$

La soluzione è dunque l’intervallo

$\boxcolorato{superiori}{\left (-\infty,-\frac{9}{2}\right ). }$

Esercizio 2 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere la seguente disequazione esponenziale:

$2 \cdot 3^{-x} - 3^x \geq 1.$

Svolgimento.

Scriviamo $3^{-x}=1/3^{x}$ e poniamo $t=3^{x}>0$ ; l’espressione diventa allora

$\frac{2}{t}-t\;\ge\;1.$

Moltiplicando per $t\;(>0)$ si ottiene

$2-t^{2}\;\ge\;t\iff -t^{2}-t+2\;\ge\;0,$

che, cambiando segno a entrambi i membri, equivale a

$t^{2}+t-2\;\le\;0.$

L’equazione associata $t^{2}+t-2=0$ ha soluzioni $t=1$ e $t=-2$ ; poiché $t>0$ , l’unico valore rilevante è $t=1$ . Siccome il trinomio è positivo fuori dell’intervallo fra le radici e negativo (o nullo) all’interno, la condizione $t^{2}+t-2\le 0$ risulta verificata per

$0<t\le 1.$

Tornando alla variabile $x$ si ha $3^{x}\le 1$ , ossia $x\le 0$ perché la funzione esponenziale con base $3>1$ è crescente. Non vi sono altre restrizioni di dominio, quindi la soluzione è

$\boxcolorato{superiori}{S=(-\infty,0]. }$

Esercizio 3 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere la seguente disequazione esponenziale:

$5^{\frac{2}{x}}\;-\;\frac{26}{25}\;5^{\frac{1}{x}} \;>\;-\frac{1}{25}.$

Svolgimento.

Si vuole risolvere la disequazione

$5^{\frac{2}{x}}-\frac{26}{25}\,5^{\frac{1}{x}} >-\frac{1}{25}, \qquad x\neq0.$

Si osserva anzitutto che l’espressione è definita per ogni $x\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$ poiché compare soltanto la potenza a base positiva $5$ . Per trasformare il confronto in un polinomio si pone $t=5^{\frac{1}{x}}$ , grandezza sempre positiva; ne segue $5^{\frac{2}{x}}=t^{2}$ e la disuguaglianza si riconduce a

$25t^{2}-26t+1>0.$

Il trinomio ha discriminante $\Delta=576$ e radici reali distinte $t_{1}=\tfrac1{25}$ e $t_{2}=1$ ; poiché il coefficiente di grado 2 è positivo, l’espressione risulta maggiore di zero all’esterno dell’intervallo chiuso fra le radici, vale a dire per $t<\tfrac1{25}$ oppure $t>1$ . Tornando alla variabile $x$ si distingue il segno di $x$ : se $x>0$ , l’esponente $\tfrac1x$ è positivo e produce $t>1$ , condizione automaticamente soddisfatta da tutti gli $x$ positivi; se $x<0$ , l’esponente è negativo e implica $0<t<1$ , e l’unica possibilità compatibile con le condizioni trovate è $t<\tfrac1{25}=5^{-2}$ , cioè $5^{\frac{1}{x}}<5^{-2}$ , da cui $\tfrac1x<-2$ e dunque $-\tfrac12<x<0$ . Escludendo il punto $x=0$ dal dominio, la soluzione complessiva è quindi