Disequazioni esponenziali con variabile ausiliaria

Equazioni e disequazioni con variabile ausiliaria in Esponenziali

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Esercizi sulle disequazioni esponenziali risolte mediante l’uso di una variabile ausiliaria.

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Silvia Lombardi.

Revisori: Luigi De Masi, Daniele Volpe.

Esercizi

$\quad$

Esercizio 1 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Risolvere la seguente disequazione fratta con esponenziali:

$\frac{4^{5x + 8} + 12}{4^{x + 5} - 2} < 0.$

Svolgimento.

Il denominatore deve essere diverso da zero: $4^{x+5}\neq2$ , da cui $x\neq-\tfrac92$ . Per eliminare le potenze poniamo $t=4^{x}>0$ ; allora

$\frac{4^{5x+8}+12}{4^{x+5}-2} =\frac{4^{8}\,4^{5x}+12}{4^{5}\,4^{x}-2} =\frac{65536\,t^{5}+12}{1024\,t-2}.$

Il numeratore $65536\,t^{5}+12$ è sempre positivo perché somma di termini positivi (ricordiamo che $t?4^x>0$ ); di conseguenza la frazione risulta negativa soltanto se il denominatore è negativo:

$1024\,t-2<0 \iff t<\frac{1}{512}.$

Tornando alla variabile $x$ otteniamo

$4^{x}<\frac{1}{512}=2^{-9} \iff 2^{2x}<2^{-9}\iff x<-\frac92.$

Poiché il valore $x=-\tfrac92$ non appartiene al dominio, la soluzione è l’intervallo aperto

$\boxcolorato{superiori}{\left (-\infty,-\frac{9}{2}\right ). }$

Esercizio 2 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere la seguente disequazione esponenziale:

$2 \cdot 3^{-x} - 3^x \geq 1.$

Svolgimento.

Scriviamo $3^{-x}=1/3^{x}$ e poniamo $t=3^{x}>0$ ; l’espressione diventa allora

$\frac{2}{t}-t\;\ge\;1.$

Moltiplicando per $t\;(>0)$ si ottiene

$2-t^{2}\;\ge\;t\iff -t^{2}-t+2\;\ge\;0,$

che, cambiando segno a entrambi i membri, equivale a

$t^{2}+t-2\;\le\;0.$

L’equazione associata $t^{2}+t-2=0$ ha soluzioni $t=1$ e $t=-2$ ; poiché $t>0$ , l’unico valore rilevante è $t=1$ . Siccome il trinomio è positivo fuori dell’intervallo fra le radici e negativo (o nullo) all’interno, la condizione $t^{2}+t-2\le 0$ risulta verificata per

$0<t\le 1.$

Tornando alla variabile $x$ si ha $3^{x}\le 1$ , ossia $x\le 0$ perché la funzione esponenziale con base $3>1$ è crescente. Non vi sono altre restrizioni di dominio, quindi la soluzione è

$\boxcolorato{superiori}{S=(-\infty,0]. }$

Esercizio 3 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere la seguente disequazione esponenziale:

$5^{\frac{2}{x}}\;-\;\frac{26}{25}\;5^{\frac{1}{x}} \;>\;-\frac{1}{25}.$

Svolgimento.

Si vuole risolvere la disequazione

$5^{\frac{2}{x}}-\frac{26}{25}\,5^{\frac{1}{x}} >-\frac{1}{25}, \qquad x\neq0.$

Si osserva anzitutto che l’espressione è definita per ogni $x\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$ poiché compare soltanto la potenza a base positiva $5$ . Per trasformare il confronto in un polinomio si pone $t=5^{\frac{1}{x}}$ , grandezza sempre positiva; ne segue $5^{\frac{2}{x}}=t^{2}$ e la disuguaglianza si riconduce a

$25t^{2}-26t+1>0.$

Il trinomio ha discriminante $\Delta=576$ e radici reali distinte $t_{1}=\tfrac1{25}$ e $t_{2}=1$ ; poiché il coefficiente di grado 2 è positivo, l’espressione risulta maggiore di zero all’esterno dell’intervallo chiuso fra le radici, vale a dire per $t<\tfrac1{25}$ oppure $t>1$ . Tornando alla variabile $x$ si distingue il segno di $x$ : se $x>0$ , l’esponente $\tfrac1x$ è positivo e produce $t>1$ , condizione automaticamente soddisfatta da tutti gli $x$ positivi; se $x<0$ , l’esponente è negativo e implica $0<t<1$ , e l’unica possibilità compatibile con le condizioni trovate è $t<\tfrac1{25}=5^{-2}$ , cioè $5^{\frac{1}{x}}<5^{-2}$ , da cui $\tfrac1x<-2$ e dunque $-\tfrac12<x<0$ . Escludendo il punto $x=0$ dal dominio, la soluzione complessiva è quindi

$\boxcolorato{superiori}{S=\left (-\frac12,0\right )\,\cup\,(0,+\infty). }$

Esercizio 4 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere la seguente disequazione fratta con esponenziali:

$\frac{1}{3^x - 9} - \frac{1}{3^x + 1} > 0.$

Svolgimento.

Poiché poniamo $t = 3^{x} > 0$ , si ha

$\frac{1}{t-9}-\frac{1}{t+1} = \frac{(t+1)-(t-9)}{(t-9)(t+1)} = \frac{10}{(t-9)(t+1)} ,$

per cui la disequazione diventa

$\frac{10}{(t-9)(t+1)} > 0 .$

Il fattore $10$ è positivo e, essendo $t>0$ , risulta anche $t+1>0$ ; dunque il segno dell’espressione dipende soltanto da

$t-9 > 0 \iff t > 9 .$

La funzione $y(x) = 3^{x}$ è crescente, perché la base $3$ è maggiore di $1$ ; di conseguenza, per mantenere il verso della disequazione è sufficiente confrontare gli esponenti:

$3^{x} > 9 = 3^{2} \iff x > 2 .$

Pertanto l’insieme delle soluzioni è

$\boxcolorato{superiori}{S =(2,+\infty). }$

Esercizio 5 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere la seguente disequazione fratta con potenze:

$\frac{-6}{2^x - 2} + \frac{9}{2^x - 1} < 0.$

Svolgimento.

Si vuole risolvere la disequazione fratta con esponenziali

$\frac{-6}{2^{x}-2}+\frac{9}{2^{x}-1}<0, \qquad x\neq0,\;x\neq1,$

dove le esclusioni derivano dall’annullarsi dei denominatori per $2^{x}=1$ e $2^{x}=2$ . Poiché $2^{x}>0$ per ogni $x$ , introduciamo la sostituzione $t=2^{x}>0$ ; la disequazione diventa

$-\frac{6}{t-2}+\frac{9}{t-1}<0.$

Riducendo a denominatore comune $(t-2)(t-1)$ otteniamo

$\frac{-6(t-1)+9(t-2)}{(t-2)(t-1)} =\frac{3(t-4)}{(t-2)(t-1)}<0 \iff \frac{t-4}{(t-2)(t-1)}<0.$

Studio del segno. Il numeratore è positivo per $t>4$ , mentre il denominatore, essendo già fattorizzato, è positivo per $t<1$ oppure per $t>2$ , dunque

$\begin{array}{c|cccc} t & (0,1) & (1,2) & (2,4) & (4,+\infty) \\ \hline t-4 & - & - & - & + \\ (t-2)(t-1) & + & - & + & + \\ \hline \text{quoziente} & - & + & - & + \end{array}$

Il quoziente risulta pertanto negativo per $0<t<1$ e per $2<t<4$ .

Ritorno alla variabile $x$ . Per $0<t<1$ si ha $0<2^{x}<1$ , da cui $x<0$ . Per $2<t<4$ si ha $2<2^{x}<4$ , ossia $1<x<2$ .

Tenendo conto delle esclusioni di dominio ( $x\neq0,1$ ), la soluzione complessiva è

$\boxcolorato{superiori}{S=(-\infty,0)\;\cup\;(1,2). }$

Esercizio 6 $(\bigstar\bigstar\bigstar)$ . Risolvere la seguente disequazione:

$\frac{(3^x - 1)^{\frac{1}{2}} - 2\sqrt{2}}{3^x \cdot \left( \dfrac{1}{\sqrt[3]{3}} \right) - 9} \geq 0.$

Svolgimento.

Poniamo $t=3^{x}>0$ . La frazione diventa

$\frac{\sqrt{t-1}-2\sqrt2}{\dfrac{t}{\sqrt[3]{3}}-9}\ge0 .$

Il numeratore $\sqrt{t-1}-2\sqrt2$ si annulla per $t=9$ , mentre il denominatore $\dfrac{t}{\sqrt[3]{3}}-9$ si annulla per $t=9\sqrt[3]{3}=3^{7/3}$ , valore da escludere dal campo di esistenza della disequazione. Poiché $\sqrt{t-1}$ e $t/\sqrt[3]{3}-9$ sono entrambe funzioni crescenti, nel dominio $t\ge1$ il loro segno cambia soltanto in corrispondenza di questi due valori. Per $1\le t<9$ entrambi i fattori sono negativi, quindi il quoziente è positivo; in $t=9$ vale zero ed è ammesso; in $9<t<3^{7/3}$ il numeratore diventa positivo mentre il denominatore resta negativo, perciò la frazione è negativa; infine, per $t>3^{7/3}$ entrambi i fattori risultano positivi e il quoziente torna positivo. In sintesi

$t\in [1,9]\;\cup\;(3^{7/3},+\infty).$

Sostituendo $t=3^{x}$ otteniamo

$\begin{cases} 1\le 3^{x}\le 9 &\Longrightarrow\; 0\le x\le 2,\\[4pt] 3^{x}>3^{7/3} &\Longrightarrow\; x> \dfrac73. \end{cases}$

Pertanto l’insieme delle soluzioni è

$\boxcolorato{superiori}{S=\bigl[0,2\bigr]\cup\left (\frac73,+\infty \right ). }$

Esercizio 7 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere la seguente disequazione esponenziale:

$4^{-x} + \frac{1}{2^{x - 1}} \leq 3.$

Svolgimento.

Poiché

$4^{-x}=(2^{2})^{-x}=2^{-2x}, \qquad \frac{1}{2^{x-1}} = 2^{1-x},$

la disequazione si scrive

$2^{-2x}+2^{1-x}\le 3 .$

Poniamo $t = 2^{-x}>0$ . Otteniamo così

$t^{2}+2t\le 3 \iff t^{2}+2t-3\le 0 \iff (t+3)(t-1)\le 0 .$

Il trinomio è non positivo tra le radici, ma essendo $t>0$ resta

$0< t \le 1 .$

Ritornando alla variabile originaria,

$0< 2^{-x}\le 1 \iff 2^{-x}\le 1 \iff x\ge 0,$

poiché la funzione $2^{-x}$ è strettamente decrescente (base $2>1$ ).

Pertanto l’insieme delle soluzioni è

$\boxcolorato{superiori}{S=[0,+\infty). }$

Esercizio 8 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere la seguente disequazione esponenziale:

$\frac{3 \cdot 3^x + 9 \cdot 3^{-x} - 4}{3^x} < \frac{8}{3}.$

Svolgimento.

Ponendo $t=3^{x}>0$ e moltiplicando ambo i membri per $3t^2$ la disequazione diventa

$\begin{aligned} 9t^2+27 - 12t < 8t^2 \iff t^2-12t + 36 - 9<0 \iff (t-6)^2 < 9 \iff -3+6<t<3+6, \end{aligned}$

dove nella prima equivalenza abbiamo aggiunto e sottratto $9$ al primo membro in modo da ottenere il quadrato del binomio evidenziato nei successivi passaggi.

Ricordando $t=3^x$ si ottiene

$3< 3^x<9=3^2,$

da cui si ricavano le soluzioni

$\boxcolorato{superiori}{S= (1,2). }$

Esercizio 9 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere la seguente disequazione:

$\frac{3^{-x} - 3^{x+1}}{3^{x-1} \cdot 3^{x+1} - 9} \geq 0.$

Svolgimento.

Sia $t=3^{x}>0$ . Allora

$\frac{3^{-x}-3^{x+1}}{3^{x-1}\bigl(3^{x+1}\bigr)-9} =\frac{\dfrac1t-3t}{t^{2}-9}\ge0 .$

Moltiplicando numeratore e denominatore per $t\,(>0)$ otteniamo

$\frac{1-3t^{2}}{t\,(t^{2}-9)}\ge0, \qquad 1-3t^{2}=0 \iff t=\frac1{\sqrt3}, \qquad t^{2}-9=0 \iff t=3 .$

Nel dominio $t>0$ i punti critici sono dunque $t=\tfrac1{\sqrt3}$ (annulla il numeratore) e $t=3$ (annulla il denominatore). Esaminando i segni nei tre intervalli $(0,\tfrac1{\sqrt3})$ , $(\tfrac1{\sqrt3},3)$ e $(3,+\infty)$ risulta che la frazione è negativa nel primo, positiva nel secondo e di nuovo negativa nell’ultimo; pertanto è non-negativa esattamente per

$\frac1{\sqrt3}\le t<3 .$

Poiché $t=3^{x}$ , si ha

$\frac1{\sqrt3}\le3^{x}<3 \iff -\frac12\le x<1 .$

Il valore $x=1$ va escluso perché annulla il denominatore originario.

In conclusione,

$\boxcolorato{superiori}{S= \left [-\frac12,\;1 \right ). }$

Esercizio 10 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere la seguente disequazione esponenziale:

$\frac{9 \cdot 3^{-x}}{9^x + 3^{2x}} > \frac{27}{2}.$

Svolgimento.

Poniamo $t = 3^{x} > 0$ . Allora $3^{-x} = 1/t$ , mentre $9^{x} = (3^{2})^{x} = 3^{2x} = t^{2}$ . La frazione a sinistra diventa

$\frac{9\;3^{-x}}{9^{x}+3^{2x}} =\frac{9/t}{t^{2}+t^{2}} =\frac{9}{2t^{3}},$

così la disequazione si scrive

$\frac{9}{2t^{3}} \;>\; \frac{27}{2}.$

Poiché $2t^{3}>0$ , moltiplicando entrambi i membri otteniamo $9 > 27t^{3}$ , cioè $t^{3} < \dfrac13$ . Sostituendo $t = 3^{x}$ e ricordando che la funzione $x \mapsto 3^{x}$ è strettamente crescente,

$3^{x} < 3^{-1/3} \iff x < -\frac13.$

Pertanto l’insieme delle soluzioni è

$\boxcolorato{superiori}{S = \left (-\infty,-\frac{1}{3}\right ). }$

Esercizio 11 $(\bigstar\bigstar\bigstar)$ . Risolvere la seguente disequazione con valore assoluto:

$\left| \frac{3 \cdot 5^{x+1} + 5}{5^x - 2 \cdot 5^x + 1} \right| < 5.$

Svolgimento.

Sia $t = 5^{x}>0$ ; allora $5^{x+1}=5t$ e $5^{2x}=t^{2}$ . La frazione dentro il valore assoluto diventa

$\frac{3\cdot5^{x+1}+5}{5^{2x}-2\cdot5^{x}+1} =\frac{5\bigl(3t+1\bigr)}{(t-1)^{2}},$

così la disequazione richiesta è

$\biggl|\frac{5(3t+1)}{(t-1)^{2}}\biggr|<5 \iff \biggl|\frac{3t+1}{(t-1)^{2}}\biggr|<1 ,$

poiché il fattore $5>0$ si semplifica con il $5$ a destra. Dal momento che $(t-1)^{2}\ge0$ e $t>0$ (dunque $3t+1>0$ , possiamo eliminare i valori assoluti e ridurre la disuguaglianza a

$3t+1<(t-1)^{2} \iff 0<t^{2}-5t.$

Poiché $t>0$ , l’ultimo passo equivale a $t>5$ . Ritornando alla variabile originale otteniamo $5^{x}>5$ , cioè $x>1$ .

$\boxcolorato{superiori}{S= (1,+\infty). }$

Esercizio 12 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere la seguente disequazione irrazionale:

$\sqrt{4 \cdot 2^x + \sqrt{8^x - 1}} \leq \sqrt{2^{x+1} - 1}.$

Svolgimento.

Introduciamo la variabile $t=2^{x}>0$ ; in tal modo $8^{x}=t^{3}$ e $2^{x+1}=2t$ , perciò la disequazione si riscrive

$\sqrt{\,4t+\sqrt{\,t^{3}-1}\,}\;\le\;\sqrt{\,2t-1\,}.$

I radicandi impongono subito $t\ge1$ , cioè $x\ge0$ . Dal momento che entrambi i membri sono non-negativi, elevare al quadrato non altera il verso: otteniamo

$4t+\sqrt{\,t^{3}-1}\;\le\;2t-1.$

Ma per ogni $t\ge1$ il radicando a sinistra vale almeno $4t$ , mentre il membro destro non supera $2t-1$ ; questo condurrebbe a $4t\le2t-1$ , ossia $2t\le-1$ , impossibile per qualsiasi $t>0$ . Di conseguenza non esistono valori ammessi che soddisfino la disuguaglianza e l’insieme delle soluzioni è vuoto:

$\boxcolorato{superiori}{S=\emptyset. }$

Esercizio 13 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere la seguente disequazione:

$\frac{20 - 8 \cdot 2^{\sqrt{x} + 1} - 64 \cdot 2^{\sqrt{x}}}{(2^x - 1)(2^x - 4)} > 0.$

Svolgimento.

Il dominio richiede $x\ge0$ perché compaiono radici quadrate e che i fattori al numeratore non si annullino, dunque

$\begin{cases} x\geq 0 \\ 2^x-1\neq 0 \\ 2^x-4 \neq 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x \geq 0 \\ x \neq 0 \\ x \neq 2 \end{cases} \iff x \in (0,2) \cup (2,+\infty).$

Nel numeratore poniamo $y=2^{\sqrt{x}}\;(>0)$ ; allora

$20-8\cdot2^{\sqrt{x}+1}-64\cdot2^{\sqrt{x}} =20-16y-64y =20\bigl(1-4y\bigr).$

Poiché per ogni $x\ge0$ vale $y=2^{\sqrt{x}}\ge2^{0}=1$ , risulta $1-4y<0$ e l’intero numeratore è dunque sempre negativo, mai nullo. Affinché la frazione sia positiva, anche il denominatore deve essere negativo:

$(2^{x}-1)(2^{x}-4)<0.$

Scrivendo $z=2^{x}\;(>0)$ otteniamo $(z-1)(z-4)<0$ , condizione che si verifica esattamente per $1<z<4$ . Con $z=2^{x}$ ciò equivale a

$1<2^{x}<4 \iff 0<x<2,$

valori accettabili in quanto inclusi nel dominio. In conclusione l’insieme delle soluzioni è

$\boxcolorato{superiori}{S=(0,2). }$

Esercizio 14 $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ . Risolvere la seguente disequazione:

$\frac{3^{2x+1} - 10 \cdot 3^x + 3}{\left( \left( \frac{2}{3} \right)^x - 1 \right)(5 - x^2)} \geq 0.$

Svolgimento.

Occorre escludere i valori di $x$ che annullano i fattori al denominatore:

$x \in \mathbb{R}\setminus\{0,\pm \sqrt{5}\}.$

Per trattare il numeratore poniamo $t = 3^{x}>0$ ; segue

$3^{2x+1}-10\cdot3^{x}+3 = 3t^{2}-10t+3 = 3\bigl(t-\tfrac13\bigr)\bigl(t-3\bigr),$

che si annulla soltanto per $t=\tfrac13$ e $t=3$ , ossia per $x=-1$ e $x=1$ . Il segno del trinomio è positivo quando $x<-1$ o $x>1$ , negativo per $-1<x<1$ .

Il denominatore è il prodotto di $\bigl(\tfrac23\bigr)^{x}-1$ e $5-x^{2}$ . Poiché la base $\tfrac23<1$ , la prima funzione è positiva per $x<0$ , nulla in $x=0$ e negativa per $x>0$ ; la seconda è positiva per $|x|<\sqrt5$ , nulla in $x=\pm\sqrt5$ e negativa al di fuori.

Riassumendo i segni lungo l’asse reale si ottiene:

$\renewcommand{\arraystretch}{1.2} \begin{array}{c|ccccccc} x & -\infty & -\sqrt5 & -1 & 0 & 1 & \sqrt5 & +\infty \\ \hline \text{num.} & + & + & 0 & - & 0 & + & + \\ \bigl(\tfrac23\bigr)^{x}-1 & + & + & + & 0 & - & - & - \\ 5-x^{2} & - & + & + & + & + & 0 & - \\ \hline \text{frazione} & - & + & 0 & - & 0 & - & + \end{array}$

La disequazione richiede che la frazione sia non negativa; occorre quindi scegliere gli intervalli dove il prodotto finale è positivo e aggiungere i punti in cui si annulla il numeratore mantenendo distinto da zero il denominatore. Ne risulta

$x\in\;(-\sqrt5,\,-1] \;\cup\; (0,\,1] \;\cup\; (\sqrt5,\,+\infty),$

poiché $x=0$ e $x=\pm\sqrt5$ annullano il denominatore e vanno esclusi, mentre $x=-1$ e $x=1$ azzerano soltanto il numeratore e sono ammessi. L’insieme delle soluzioni è pertanto

$\boxcolorato{superiori}{S=(-\sqrt5,-1]\;\cup\;(0,1]\;\cup\;(\sqrt5,+\infty). }$

Esercizio 15 $(\bigstar\bigstar\bigstar)$ . Risolvere la seguente disequazione:

$\frac{3 \cdot 2^x}{2^x - 2} + \frac{2^2}{2^x + 2} < \frac{2^3 - 3 \cdot 2^{2x}}{(2 - 2^x)(2 + 2^x)}.$

Svolgimento.

Introduciamo la variabile $t=2^{x}>0$ ; la disequazione assegnata diventa

$\frac{3t}{t-2}+\frac{4}{t+2}\;<\; \frac{\,8-3t^{2}\,}{(2-t)(2+t)} .$

Osserviamo che $(2-t)(2+t)=4-t^{2}=-(t^{2}-4)$ ; raccogliendo quindi un “meno” al denominatore del secondo membro otteniamo

$\frac{3t}{t-2}+\frac{4}{t+2}\;<\; \frac{3t^{2}-8}{\,t^{2}-4\,}.$

Portiamo anche il primo membro allo stesso denominatore $t^{2}-4=(t-2)(t+2)$ :

$\frac{3t(t+2)+4(t-2)}{t^{2}-4}\;<\; \frac{3t^{2}-8}{t^{2}-4}.$

Il numeratore di sinistra si riduce a $3t^{2}+10t-8$ ; sottraendo i due membri (cioè portando tutto a destra) rimane

$\frac{(3t^{2}-8)-(3t^{2}+10t-8)}{t^{2}-4}\;=\;\frac{-10t}{t^{2}-4}\;>\;0 .$

Il numeratore $-10t$ risulta sempre negativo per $t>0$ ; affinché il rapporto sia positivo occorre dunque che anche il denominatore sia negativo:

$t^{2}-4<0 \iff 0<t<2.$

L’estremo $t=2$ (ossia $x=1$ ) va escluso perché annulla i denominatori originari; l’estremo inferiore $t\to0^{+}$ non pone problemi. Tornando alla variabile $x$ si ha

$0<2^{x}<2 \iff x<1.$

Pertanto la disequazione è verificata per tutti e soli i valori

$\boxcolorato{superiori}{S=(-\infty,\,1). }$

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