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Esponenziali – Dominio e proprietà

Dominio e proprietà in Esponenziali

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Sommario

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Questo articolo contiene alcuni esercizi sul calcolo del dominio di una funzione esponenziale, ideati per studenti del liceo, per chi si sta preparando ai test di ingresso di facoltà scientifiche come ingegneria, fisica e matematica, oppure per chi desidera ripassare le basi.

 
 

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti, Silvia Lombardi.

Revisori: Luigi De Masi, Daniele Volpe.


 
 

Esercizi

\[\quad\]

Esercizio 1 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Determinare il dominio della seguente funzione:

\[y=2^{\sqrt{x-1}}.\]

Svolgimento.

Quando ci troviamo di fronte ad una funzione esponenziale dobbiamo analizzare l’esponente della base e farne il dominio. L’esponente è

\[\sqrt{x-1}\]

quindi un radicale con indice pari, pertanto l’argomento, che è un polinomio, deve essere maggiore o uguale di zero

\[x-1 \ge 0 \quad \Rightarrow \quad x\ge 1.\]

Dunque

\[\boxcolorato{superiori}{D = \left\{ x \in \mathbb{R} \, | \, x \ge 1\right\}.}\]


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Determinare il dominio della seguente funzione:

\[y=\sqrt{4^x}.\]

Svolgimento.

La funzione data è un’irrazionale di indice pari di una potenza. Una funzione irrazionale con indice pari deve avere argomento maggiore o uguale di zero, quindi

\[4^x \ge 0 \quad \Rightarrow \quad \forall \, x \in \mathbb{R}.\]

Dunque

\[\boxcolorato{superiori}{D = \mathbb{R}.}\]


 
 

Esercizio 3 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Determinare il dominio della seguente funzione:

\[y=4^{\sqrt{3-\vert x \vert}}.\]

Svolgimento.

Quando ci troviamo di fronte ad una funzione esponenziale dobbiamo analizzare l’esponente della base e farne il dominio. L’esponente è

\[\sqrt{3-\vert x \vert}\]

quindi il radicando deve essere maggiore o uguale di zero

\[3-\vert x \vert \ge 0 \quad \Rightarrow \quad \vert x \vert \le 3 \quad \Rightarrow \quad - 3 \le x \le 3.\]

Dunque

\[\boxcolorato{superiori}{D = \left\{ x \in \mathbb{R} \, \vert \, - 3 \le x \le 3 \right\}. }\]


 
 

Esercizio 4 (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Determinare il dominio della seguente funzione:

\[y = \dfrac{\sqrt{x+1}}{3^x-1}.\]

Svolgimento.

Contemporaneamente deve accadere che l’argomento della radice a numeratore sia maggiore o uguale di zero e il denominatore sia diverso da zero, quindi impostiamo il sistema

\[\begin{cases} x+1\ge0\\ 3^x-1\neq0 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} x\ge-1\\ x\neq0 \end{cases}\]

da cui deduciamo che il dominio è

\[\boxcolorato{superiori}{D = \left\{x \in \mathbb{R} \, \vert \, x\ge -1 \quad \wedge \quad x \neq 0\right\}.}\]