Equazione differenziale del secondo ordine omogenea – Esercizio 4

Equazioni differenziali ordinarie del secondo ordine omogenee

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Esercizio.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Risolvere la seguente equazione differenziale

    \[y'' +2y'-3y=0\]

 

Soluzione

Data un’equazione differenziale del secondo ordine omogenea

    \[Ay''+By'+C=0\]

si scrive l’equazione caratteristica

    \[Az^2+Bz+C=0\]

e si calcola il discriminante

    \[\Delta = B^2-4AC\]

Se \Delta>0 abbiamo due soluzioni reali e distinte z_1 e z_2 quindi la soluzione dell’equazione differenziale è

    \[y = C_1 \; e^{z_1 \; x} + C_2 \; e^{z_2 \; x}\]

Se \Delta=0 abbiamo due soluzioni reali coincidenti z_1=z_2\eqqcolon z quindi la soluzione dell’equazione differenziale è

    \[y = e^{z \; x}\left( C_1 + C_2 \; x\right)\]

Se \Delta<0 abbiamo due soluzioni complesse coniugate quindi z_1=\alpha+ i \, \beta e z_2 = \alpha-i \, \beta quindi la soluzione dell’equazione differenziale è

    \[y = e^{\alpha \; x}\left( C_1 \; \cos \beta x + C_2 \; \sin \beta x\right)\]

dove in tutti i casi C_1 e C_2 sono costanti reali.
Nel nostro caso scriviamo l’equazione caratteristica

    \[z^2 + 2z-3=0\]

da cui

    \[z = \dfrac{-2 \pm 4}{2} \quad \Rightarrow \quad z_1 = -3 \; \vee \; z_2 = 1\]

e quindi la soluzione è

    \[\boxed{ y= C_1 \; e^{-3x} + C_2 \; e^{x}}\]

con C_1 e C_2 costanti reali.


Fonte: Matematica.blu Volume 5 – Zanichelli