Equazione differenziale del secondo ordine omogenea – Esercizio 3

Equazioni differenziali ordinarie del secondo ordine omogenee

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Esercizio. $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$

Risolvere la seguente equazione differenziale

$y''+2y=0$

Soluzione

Data un’equazione differenziale del secondo ordine omogenea

$Ay''+By'+C=0$

si scrive l’equazione caratteristica

$Az^2+Bz+C=0$

e si calcola il discriminante

$\Delta = B^2-4AC$

Se $\Delta>0$ abbiamo due soluzioni reali e distinte $z_1$ e $z_2$ quindi la soluzione dell’equazione differenziale è

$y = C_1 \; e^{z_1 \; x} + C_2 \; e^{z_2 \; x}$

Se $\Delta=0$ abbiamo due soluzioni reali coincidenti $z_1=z_2\eqqcolon z$ quindi la soluzione dell’equazione differenziale è

$y = e^{z \; x}\left( C_1 + C_2 \; x\right)$

Se $\Delta<0$ abbiamo due soluzioni complesse coniugate quindi $z_1=\alpha+ i \, \beta$ e $z_2 = \alpha-i \, \beta$ quindi la soluzione dell’equazione differenziale è

$y = e^{\alpha \; x}\left( C_1 \; \cos \beta x + C_2 \; \sin \beta x\right)$

dove in tutti i casi $C_1$ e $C_2$ sono costanti reali.
Nel nostro caso scriviamo l’equazione caratteristica

$z^2+2=0$

quindi le soluzioni sono complesse $z = \pm \sqrt{2} \, i$ , pertanto con $\alpha=0$ e $\beta=\sqrt{2}$ abbiamo

$y= e^{0x} (C_1 \; \cos \sqrt{2}x + C_2 \; \sin \sqrt{2}x ) \quad \Rightarrow \quad \boxed{y= C_1 \; \cos \sqrt{2}x + C_2 \; \sin \sqrt{2}x}$

con $C_1$ e $C_2$ costanti reali.

Fonte: Matematica.blu Volume 5 – Zanichelli

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