Equazione differenziale del secondo ordine omogenea – Esercizio 3

Equazioni differenziali ordinarie del secondo ordine omogenee

Home » Equazione differenziale del secondo ordine omogenea – Esercizio 3
Generic selectors
Exact matches only
Search in title
Search in content
Post Type Selectors
post
page

Esercizio.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Risolvere la seguente equazione differenziale

    \[y''+2y=0\]

 

Soluzione

Data un’equazione differenziale del secondo ordine omogenea

    \[Ay''+By'+C=0\]

si scrive l’equazione caratteristica

    \[Az^2+Bz+C=0\]

e si calcola il discriminante

    \[\Delta = B^2-4AC\]

Se \Delta>0 abbiamo due soluzioni reali e distinte z_1 e z_2 quindi la soluzione dell’equazione differenziale è

    \[y = C_1 \; e^{z_1 \; x} + C_2 \; e^{z_2 \; x}\]

Se \Delta=0 abbiamo due soluzioni reali coincidenti z_1=z_2\eqqcolon z quindi la soluzione dell’equazione differenziale è

    \[y = e^{z \; x}\left( C_1 + C_2 \; x\right)\]

Se \Delta<0 abbiamo due soluzioni complesse coniugate quindi z_1=\alpha+ i \, \beta e z_2 = \alpha-i \, \beta quindi la soluzione dell’equazione differenziale è

    \[y = e^{\alpha \; x}\left( C_1 \; \cos \beta x + C_2 \; \sin \beta x\right)\]

dove in tutti i casi C_1 e C_2 sono costanti reali.
Nel nostro caso scriviamo l’equazione caratteristica

    \[z^2+2=0\]

quindi le soluzioni sono complesse z = \pm \sqrt{2} \, i, pertanto con \alpha=0 e \beta=\sqrt{2} abbiamo

    \[y= e^{0x} (C_1 \; \cos \sqrt{2}x + C_2 \; \sin \sqrt{2}x ) \quad \Rightarrow \quad \boxed{y= C_1 \; \cos \sqrt{2}x + C_2 \; \sin \sqrt{2}x}\]

con C_1 e C_2 costanti reali.


Fonte: Matematica.blu Volume 5 – Zanichelli