Equazione differenziale del tipo y’=f(x) – Problema di Cauchy – Esercizio 4

Equazioni differenziali ordinarie del primo ordine

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Esercizio. $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ Determina la soluzione dell’equazione differenziale $4y'=12x^2-1$ che passa per il punto $P\left(1,\dfrac{3}{4}\right)$ .

Soluzione

Innanzitutto risolviamo l’equazione differenziale isolando $y'$ ed integrando ambo i membri dell’equazione differenziale rispetto alla variabile $x$ , ottenendo

$y'=3x^2-\dfrac{1}{4} \quad \Rightarrow \quad \int y' \, dx = \int \left(3x^2-\dfrac{1}{4}\right) \, dx \quad \Rightarrow \quad y=x^3-\dfrac{1}{4}x+c$

dove $c$ è una costante. Il punto $P$ dato è equivalente alla condizione $y(1)=\dfrac{3}{4}$ e ci permette di determinare la costante $c$ . Dunque è sufficiente sostituire $x=1$ e $y=\frac{3}{4}$ nella soluzione, infatti:

$\dfrac{3}{4}=1^3-\dfrac{1}{4} \cdot 1 +c \quad \Rightarrow \quad \dfrac{3}{4}=1-\dfrac{1}{4} +c \quad \Rightarrow \quad \dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{4} +c \quad \Rightarrow \quad c=0$

quindi

$\boxed{y=x^3-\dfrac{1}{4}x}$

per ogni $x$ reale.

Fonte: Matematica.blu 5 – Zanichelli

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