Equazione differenziale del tipo y’=f(x) – Problema di Cauchy – Esercizio 4

Equazioni differenziali ordinarie del primo ordine

Home » Equazione differenziale del tipo y’=f(x) – Problema di Cauchy – Esercizio 4
Generic selectors
Exact matches only
Search in title
Search in content
Post Type Selectors
post
page

Esercizio.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Determina la soluzione dell’equazione differenziale 4y'=12x^2-1 che passa per il punto P\left(1,\dfrac{3}{4}\right).

 

Soluzione

Innanzitutto risolviamo l’equazione differenziale isolando y' ed integrando ambo i membri dell’equazione differenziale rispetto alla variabile x, ottenendo

    \[y'=3x^2-\dfrac{1}{4} \quad \Rightarrow \quad \int y' \, dx = \int  \left(3x^2-\dfrac{1}{4}\right) \, dx \quad \Rightarrow \quad y=x^3-\dfrac{1}{4}x+c\]

dove c è una costante. Il punto P dato è equivalente alla condizione y(1)=\dfrac{3}{4} e ci permette di determinare la costante c. Dunque è sufficiente sostituire x=1 e y=\frac{3}{4} nella soluzione, infatti:

    \[\dfrac{3}{4}=1^3-\dfrac{1}{4} \cdot 1 +c \quad \Rightarrow \quad \dfrac{3}{4}=1-\dfrac{1}{4} +c \quad \Rightarrow \quad \dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{4} +c \quad \Rightarrow \quad c=0\]

quindi

    \[\boxed{y=x^3-\dfrac{1}{4}x}\]

per ogni x reale.


Fonte: Matematica.blu 5 – Zanichelli