Equazione differenziale del tipo y’=f(x) – Problema di Cauchy – Esercizio 3

Equazioni differenziali ordinarie del primo ordine

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Esercizio. $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$

Risolvere il seguente problema di Cauchy

$\begin{cases} y'=x+\cos x - 1\\ y(0)=2 \end{cases}$

Soluzione

Integriamo ambo i membri dell’equazione differenziale rispetto alla variabile $x$ , ottenendo

$\int y' \, dx = \int (x+\cos x - 1) \, dx \quad \Rightarrow \quad y=\dfrac{x^2}{2}+\sin x - x + c,$

dove $c$ è una costante. La condizione iniziale $y(0)=2$ ci permette di determinare la costante, è sufficiente sostituire $x=0$ e $y=2$ nella soluzione, infatti:

$2 = c$

quindi

$\boxed{y=\dfrac{x^2}{2}+\sin x - x + 2}$

Fonte: Matematica.blu 5 – Zanichelli

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