Equazione differenziale del tipo y’=f(x) – Problema di Cauchy – Esercizio 3

Equazioni differenziali ordinarie del primo ordine

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Esercizio.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Risolvere il seguente problema di Cauchy

    \[\begin{cases} 	y'=x+\cos x - 1\\ y(0)=2 \end{cases}\]

 

Soluzione

Integriamo ambo i membri dell’equazione differenziale rispetto alla variabile x, ottenendo

    \[\int y' \, dx = \int  (x+\cos x - 1) \, dx \quad \Rightarrow \quad y=\dfrac{x^2}{2}+\sin x - x + c,\]

dove c è una costante. La condizione iniziale y(0)=2 ci permette di determinare la costante, è sufficiente sostituire x=0 e y=2 nella soluzione, infatti:

    \[2 = c\]

quindi

    \[\boxed{y=\dfrac{x^2}{2}+\sin x - x + 2}\]


Fonte: Matematica.blu 5 – Zanichelli