Equazione differenziale a variabili separabili – Esercizio 5

Equazioni differenziali ordinarie del primo ordine a variabili separabili

Home » Equazione differenziale a variabili separabili – Esercizio 5
Generic selectors
Exact matches only
Search in title
Search in content
Post Type Selectors
post
page

Esercizio.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Risolvere il seguente problema di Cauchy

    \[\begin{cases} 				e^xy^2-y'=0\\\\ 				y(0)=\dfrac{1}{3} 			\end{cases}\]

 

Soluzione

L’equazione differenziale data è a variabili separabili poiché scrivibile nella forma

    \[h(y) \cdot y'=g(x)\]

dove

    \[h(y) = \dfrac{1}{y^2} \qquad \mbox{e} \qquad g(x)=e^x\]

infatti, con y\neq 0, l’equazione data diventa

    \[\dfrac{1}{y^2} \, y'=e^x\]

Ricordando che

    \[y'=\dfrac{dy}{dx},\]

l’equazione differenziale diventa

    \[\dfrac{1}{y^2} \, dy =e^x \, dx\]

Integrando ambi i membri dell’equazione differenziale abbiamo

    \[\begin{aligned}  	& \int  \dfrac{1}{y^2} \, dy =\int e^x \, dx \quad \Rightarrow \quad -\dfrac{1}{y} = e^x + c \quad \Rightarrow \quad y = - \dfrac{1}{e^x+c}  \end{aligned}\]

con c costante. Andiamo a calcolare la costante c impostando la condizione y(0)=\frac{1}{3}

    \[\dfrac{1}{3} = - \dfrac{1}{e^0+c} = - \dfrac{1}{1+c} \quad \Rightarrow \quad c = -4\]

Quindi

    \[\boxed{ y = - \dfrac{1}{e^x-4} }\]


Fonte: Matematica.blu 5 – Zanichelli