Equazione differenziale a variabili separabili – Esercizio 4

Equazioni differenziali ordinarie del primo ordine a variabili separabili

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Esercizio. $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$ Risolvere la seguente equazione differenziale a variabili separabili

$y' -xy+4x=0$

Soluzione

L’equazione differenziale data è a variabili separabili poiché scrivibile nella forma

$h(y) \cdot y'=g(x)$

dove

$h(y) = \dfrac{1}{y-4} \qquad \mbox{e} \qquad g(x)=x$

infatti l’equazione data diventa

$y' = x(y-4)$

Osserviamo subito che $\boxed{y=4}$ è soluzione, poiché $y'=0$ e quindi l’equazione differenziale data diventa un’identità $0=0$ .\\
Consideriamo ora $y\neq 4$ . Ricordando che

$y'=\dfrac{dy}{dx},$

l’equazione diventa

$\dfrac{1}{y-4} \, dy = x \, dx$

dove qui abbiamo sfruttato il fatto che $y\neq4$ . Integrando ambo i membri, abbiamo

$\begin{aligned} & \int \dfrac{1}{y-4} \, dy = \int x \, dx \quad \Rightarrow \quad \ln\vert y-4\vert = \dfrac{x^2}{2} + c \quad \Rightarrow \quad \vert y-4\vert = e^{\frac{x^2}{2} + c} \quad \Rightarrow \quad y-4 = e^{\frac{x^2}{2}} \; e^c \quad \Rightarrow \quad \\\\ & \quad \Rightarrow \quad y-4 = e^{\frac{x^2}{2}} \; k \quad \Rightarrow \quad \boxed{y = e^{\frac{x^2}{2}} \; k + 4} \end{aligned}$