Equazione differenziale a variabili separabili – Esercizio 4

Equazioni differenziali ordinarie del primo ordine a variabili separabili

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Esercizio.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Risolvere la seguente equazione differenziale a variabili separabili

    \[y' -xy+4x=0\]

 

Soluzione

L’equazione differenziale data è a variabili separabili poiché scrivibile nella forma

    \[h(y) \cdot y'=g(x)\]

dove

    \[h(y) = \dfrac{1}{y-4} \qquad \mbox{e} \qquad g(x)=x\]

infatti l’equazione data diventa

    \[y' = x(y-4)\]

Osserviamo subito che \boxed{y=4} è soluzione, poiché y'=0 e quindi l’equazione differenziale data diventa un’identità 0=0.\\
Consideriamo ora y\neq 4. Ricordando che

    \[y'=\dfrac{dy}{dx},\]

l’equazione diventa

    \[\dfrac{1}{y-4} \, dy = x \, dx\]

dove qui abbiamo sfruttato il fatto che y\neq4. Integrando ambo i membri, abbiamo

    \[\begin{aligned}  & \int  \dfrac{1}{y-4} \, dy = \int x \, dx \quad \Rightarrow \quad \ln\vert y-4\vert  = \dfrac{x^2}{2} + c \quad \Rightarrow \quad \vert y-4\vert  = e^{\frac{x^2}{2} + c} \quad \Rightarrow \quad  y-4 = e^{\frac{x^2}{2}} \; e^c \quad \Rightarrow \quad \\\\ & \quad \Rightarrow \quad y-4 = e^{\frac{x^2}{2}} \; k   \quad \Rightarrow \quad  \boxed{y = e^{\frac{x^2}{2}} \; k + 4} \end{aligned}\]

dove si è posto k=e^c con c costante e x \in \mathbb{R}.


Fonte: Matematica.blu 5 – Zanichelli