Equazione differenziale a variabili separabili – Esercizio 3

Equazioni differenziali ordinarie del primo ordine a variabili separabili

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Esercizio.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Risolvere la seguente equazione differenziale a variabili separabili

    \[y' = \dfrac{\cos x}{\cos y}\]

 

Soluzione

L’equazione differenziale data è a variabili separabili poiché scrivibile nella forma

    \[h(y) \cdot y'=g(x)\]

dove

    \[h(y) = \cos y \qquad \mbox{e} \qquad g(x) = \cos x\]

infatti l’equazione data diventa

    \[\cos y \; y' = \cos x\]

per cui, ricordando che

    \[y'=\dfrac{dy}{dx},\]

l’equazione diventa

    \[\cos y \, dy = \cos x \, dx\]

Integrando ambo i membri, abbiamo

    \[\int \cos y \, dy = \int \cos x \, dx \quad \Rightarrow \quad -\sin y =-\sin x + c\quad \Rightarrow \quad  \boxed{y = \arcsin(\sin x - c)}\]

Si osservi che deve essere -1 \le \sin x - c \le 1.


Fonte: Matematica.blu 5 – Zanichelli