Equazione differenziale a variabili separabili – Esercizio 2

Equazioni differenziali ordinarie del primo ordine a variabili separabili

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Esercizio.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Risolvere la seguente equazione differenziale a variabili separabili

    \[\sin x + 3 yy'-2=0\]

 

Soluzione

L’equazione differenziale data è a variabili separabili poiché scrivibile nella forma

    \[h(y) \cdot y'=g(x) ,\]

dove

    \[h(y) = 2y \qquad \mbox{e} \qquad g(x) = 2-\sin x\]

infatti l’equazione data diventa

    \[3y \, y' = 2-\sin x.\]

Ricordando che

    \[y'=\dfrac{dy}{dx},\]

l’equazione differenziale diventa

    \[3y \, dy = ( 2-\sin x) \, dx\]

Integrando ambo i membri, abbiamo

    \[\int 3y \, dy = \int ( 2-\sin x) \, dx \quad \Rightarrow \quad \dfrac{3}{2}y^2 = 2x + \cos x + c \quad \Rightarrow \quad \boxed{y = \pm \sqrt{\dfrac{2}{3} (2x+\cos x+ c)}}\]

dove c è una costante e x\in\mathbb{R}.


Fonte: Matematica.blu 5 – Zanichelli